Aiuto integrale doppio!

[gios-votailprof]

Salve a tutti, avrei un problema a risolvere il seguente integrale doppio:

$\int int (xy)/(x^2+y^2) dxdy$ definito nel dominio $D={x^2+y^2<=1, x+y>=1, y<=x}$

cambio le variabili in coordinate polari; graficamente dal dominio trovo che il raggio $0

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Risposte

gugo82

23 apr 2009, 14:31

Non mi pare che $rho \in [0,1]$, visto che il dominio è quello in figura:
[asvg]xmin=-1;xmax=2;ymin=-1;ymax=2;
axes("labels");
plot("x",0.5,0.707);
plot("1-x",0.5,1);
plot("(1-x^2)^(0.5)",0.707,1);[/asvg]
Servono calcoli un po' più sofisticati.

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gios-votailprof

23 apr 2009, 14:54

Per caso $rho$ varia dal punto di intersezione delle due rette e 1? E $theta$?

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gios-votailprof

23 apr 2009, 15:00

Aspetta forse ci sono arrivato, però chiedo conferma!

Per caso $1/2

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gugo82

23 apr 2009, 15:01

"Gios":$0
Ok per $theta$.

"Gios":Per caso $rho$ varia dal punto di intersezione delle due rette e 1? E $theta$?

Ma non tirare ad indovinare...

Occorre fare un po' di conti; ragiona sulle equazioni dei pezzi della frontiera $x^2+y^2=1$ e $x+y=1$: che succede quando vai a sostituire $x=rho cos theta, y=rho sin theta$?
Puoi ricavare da ognuna $rho$ in funzione di $theta$?

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gios-votailprof

23 apr 2009, 15:18

Andando a sostituire ottendo per la prima (naturalmente) che $rho=1$ (avendo escluso la soluzione negativa!) mentre per la seconda ottengo $rho(costheta+sentheta)=1$...

Credo di aver capito che l'estremo superiore dell'intervallo di $rho$ è 1, ma non riesco a capire l'informazione che mi da la seconda equazione (che penso dovrebbe darmi informazioni per l'estremo inferiore!).

Mi scuso magari per le domande banali, ma sono i primi integrali doppi che faccio e ancora ho un pò di difficoltà!

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gugo82

23 apr 2009, 15:29

Ti dà $rho=1/(cos theta +sin theta)$, cosicchè la tua coppia di variabili polari varia nel dominio $\{ (theta ,rho) \in RR\times [0,+oo[ : 0<=theta <=pi/4 " e " 1/(cos theta +sin theta)<= rho <=1\}$ che è normale all'asse $(theta)$.
[asvg]xmin=0;xmax=1.5;ymin=0;ymax=2;
axes(0.393,1,"labels","grid");
plot("1",0,0.785);
plot("1/(cos(x) +sin (x))",0,0.785);
line([0.785,1],[0.785,0.707]);[/asvg]
Nota che $pi/4 \sim 0.79$.

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gios-votailprof

23 apr 2009, 15:38

A perfetto allora stavo ragionando giusto ma non riuscivo a completare il concetto! Ti ringrazio per la dritta! Ah avevo un dubbio! Se il dominio è normale sia rispetto a $rho$ che a $theta$, cambia qualcosa se integro prima rispetto a $rho$ e poi rispetto a $theta$ o viceversa?

Grazie ancora!!!

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[gugo82]

Non mi pare che $rho \in [0,1]$, visto che il dominio è quello in figura:
[asvg]xmin=-1;xmax=2;ymin=-1;ymax=2;
axes("labels");
plot("x",0.5,0.707);
plot("1-x",0.5,1);
plot("(1-x^2)^(0.5)",0.707,1);[/asvg]
Servono calcoli un po' più sofisticati.

[gios-votailprof]

Per caso $rho$ varia dal punto di intersezione delle due rette e 1? E $theta$?

[gios-votailprof]

Aspetta forse ci sono arrivato, però chiedo conferma!

Per caso $1/2

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[gugo82]

"Gios":$0
Ok per $theta$.

"Gios":Per caso $rho$ varia dal punto di intersezione delle due rette e 1? E $theta$?

Ma non tirare ad indovinare...

Occorre fare un po' di conti; ragiona sulle equazioni dei pezzi della frontiera $x^2+y^2=1$ e $x+y=1$: che succede quando vai a sostituire $x=rho cos theta, y=rho sin theta$?
Puoi ricavare da ognuna $rho$ in funzione di $theta$?

[gios-votailprof]

Andando a sostituire ottendo per la prima (naturalmente) che $rho=1$ (avendo escluso la soluzione negativa!) mentre per la seconda ottengo $rho(costheta+sentheta)=1$...

Credo di aver capito che l'estremo superiore dell'intervallo di $rho$ è 1, ma non riesco a capire l'informazione che mi da la seconda equazione (che penso dovrebbe darmi informazioni per l'estremo inferiore!).

Mi scuso magari per le domande banali, ma sono i primi integrali doppi che faccio e ancora ho un pò di difficoltà!

[gugo82]

Ti dà $rho=1/(cos theta +sin theta)$, cosicchè la tua coppia di variabili polari varia nel dominio $\{ (theta ,rho) \in RR\times [0,+oo[ : 0<=theta <=pi/4 " e " 1/(cos theta +sin theta)<= rho <=1\}$ che è normale all'asse $(theta)$.
[asvg]xmin=0;xmax=1.5;ymin=0;ymax=2;
axes(0.393,1,"labels","grid");
plot("1",0,0.785);
plot("1/(cos(x) +sin (x))",0,0.785);
line([0.785,1],[0.785,0.707]);[/asvg]
Nota che $pi/4 \sim 0.79$.

[gios-votailprof]

A perfetto allora stavo ragionando giusto ma non riuscivo a completare il concetto! Ti ringrazio per la dritta! Ah avevo un dubbio! Se il dominio è normale sia rispetto a $rho$ che a $theta$, cambia qualcosa se integro prima rispetto a $rho$ e poi rispetto a $theta$ o viceversa?

Grazie ancora!!!