Aiuto Integrale Doppio

[ancileddu]

Ciao a tutti, vi chiedo aiuto su questo integrale doppio:
$\int int x/sqrt(x^2 + y^2) dxdy$ sull'insieme D={(x,y): $0 <= y <= 1 , y <= x <= 2$ }

ho provato a risolverlo sia rispetto a y e poi x e viceversa, ho provato per parti ma non mi trovavo più. Pensavo che la soluzione fosse usare le coordinate polari così la radice al denominatore si leva, ma non so come modificare l'insieme. Poete darmi qualche dritta o consigliarmi un ragionamento migliore? grazie mille.

[Quinzio]

Il modo giusto è procedere con le coordinate polari e l'integrale diventa:

$\int \int rcos(theta)\ d\theta\ dr$

L'insieme è un poligono formato dai punti: $(0,0);(2,0);(2,1);(1,1)$

Quindi l'integrala va diviso in due parti, la prima con $\theta\in(0,\pi/6)$, cioè in modo che il raggio spazzoli dall'asse x al punto (2,1), la seconda con $\theta\in(\pi/6,\pi/4)$.

Il raggio nella prima è $r=2/(cos\theta)$, nella seconda $r=1/(sin\theta)$.

In definitiva:

$\int_0^(\pi/6)\ int_0^(2/cos\theta) rcos\theta\ dr\ d\theta + \int_(\pi/6)^(\pi/4)\ int_0^(1/sin\theta) rcos\theta\ dr\ d\theta $

$=\int_0^(\pi/6\)\ 2/cos\theta d\theta + \int_(\pi/6)^(\pi/4) 1/2 (cos\theta)/(sin^2\theta) d\theta $

$log((1-sin\theta)/(1+sin\theta))]_0^(\pi/6\) -1/2 1/sin\theta]_(\pi/6)^(\pi/4) $

eccetera..

[ancileddu]

ah perfetto, grazie mille!