Aiuto Integrale Curvilineo
Salve a tutti...volevo chiedervi un aiutino su questo integrale....ho iniziato oggi a fare esercizi e ancora non sono molto pratico 
Il testo dice:
Calcolare l'integrale $ int_(gamma )^() x^2y ds $ dove $ gamma $ è l’arco di ellisse di equazione $ x^2/9 +y^2/4=1 $ situato nel primo quadrante e percorso in senso antiorario.
Ho avuto problemi a calcolare l'integrale sull'arco di ellisse...ho parametrizzato così la curva:
$ gamma_1 = (3cost,2sint) $
Ho derivato:
$ gamma_1^{\prime}= (-3sint,2cost) $
Calcolato la norma:
$ ||gamma_1^{\prime}||= sqrt(9sin^2t+4cos^2t) $
Per cui quello che viene fuori è:
$ int_0^(pi /2)9cos^2t*2sint*sqrt(9sin^2t+4cos^2t)dt $
I miei dubb sorgono quì....temo di aver sbagliato qualcosa perchè almeno a prima vista non sembra un integralino da 2 minuti...sono abbastanza convinto di non aver seguito il procedimento più "elegante"...che ne dite?
Il testo dice:
Calcolare l'integrale $ int_(gamma )^() x^2y ds $ dove $ gamma $ è l’arco di ellisse di equazione $ x^2/9 +y^2/4=1 $ situato nel primo quadrante e percorso in senso antiorario.
Ho avuto problemi a calcolare l'integrale sull'arco di ellisse...ho parametrizzato così la curva:
$ gamma_1 = (3cost,2sint) $
Ho derivato:
$ gamma_1^{\prime}= (-3sint,2cost) $
Calcolato la norma:
$ ||gamma_1^{\prime}||= sqrt(9sin^2t+4cos^2t) $
Per cui quello che viene fuori è:
$ int_0^(pi /2)9cos^2t*2sint*sqrt(9sin^2t+4cos^2t)dt $
I miei dubb sorgono quì....temo di aver sbagliato qualcosa perchè almeno a prima vista non sembra un integralino da 2 minuti...sono abbastanza convinto di non aver seguito il procedimento più "elegante"...che ne dite?
Risposte
Fin qui tutto corretto. Puoi riscrivere l'integrale così
$\int_0^{\pi/2} 18\cos^2t\ \sin t\sqrt{9-5\cos^2 t}\ dt$
e operare la sostituzione $z=\cos t$. Così facendo $dz=-\sin t\ dt$ e $t=0\to z=1,\ t=\pi/2\to z=0$ da cui
$\int_1^0 18z^2\sqrt{9-5z^2}\ (-dz)=\int_0^1 18z^2\sqrt{9-5z^2}\ dz$
che mi pare molto più abbordabile.
$\int_0^{\pi/2} 18\cos^2t\ \sin t\sqrt{9-5\cos^2 t}\ dt$
e operare la sostituzione $z=\cos t$. Così facendo $dz=-\sin t\ dt$ e $t=0\to z=1,\ t=\pi/2\to z=0$ da cui
$\int_1^0 18z^2\sqrt{9-5z^2}\ (-dz)=\int_0^1 18z^2\sqrt{9-5z^2}\ dz$
che mi pare molto più abbordabile.
Intanto ti ringrazio per la risposta...quest l'ho fatto! ma anche così non mi sembra immediato o sbaglio?
Ora potresti porre $z=3/sqrt(5)sinu->dz=3/sqrt(5)cosudu$. Ottieni un integrale del tipo:
dove $C$ è un coefficiente (a me viene fuori, a meno di errori dovuti a conti veloci, uguale a $1458/(5sqrt(5))$), da integrare in $[0, sin^(-1)(sqrt(5)/3)]$.
$C\intsin^2ucos^2du=C\intsin^2udu-C\intsin^4udu$,
dove $C$ è un coefficiente (a me viene fuori, a meno di errori dovuti a conti veloci, uguale a $1458/(5sqrt(5))$), da integrare in $[0, sin^(-1)(sqrt(5)/3)]$.
Il risultato sarebbe un banale 9...ho provato a calcolare l'integrale scritto nel secondo post, che anche a me era venuto fuori, con derive che di solito con gli integrali definiti ci dovrebbe azzeccare ma nada...approssimato viene fuori un 14,qualcosa...
Il mio dubbio a sto punto è che ci sia qualche errore nel testo poichè gli altri esercizi proposti nella pagina non davano risultati particolarmente strani e se impostati nel modo giusto erano risolvibili in qualche riga...
Il mio dubbio a sto punto è che ci sia qualche errore nel testo poichè gli altri esercizi proposti nella pagina non davano risultati particolarmente strani e se impostati nel modo giusto erano risolvibili in qualche riga...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo