Aiuto: Integrale con teoria dei residui
Innanzitutto un saluto a tutti visto che è il mio primo post su questo forum.
Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo integrale con la teoria dei residui?
$\int_{\Gamma}^{}(\sin(1/(z-1)))/(z^2-1) dz$
Dove $\Gamma$ è la circonferenza di centro (0,0) e raggio 3
Le mie difficoltà sono nello studiare le singolarità e i relativi residui, quindi vi chiedo una spiegazione piu' approfondita per quanto riguarda questo punto.
Grazie mille
Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo integrale con la teoria dei residui?
$\int_{\Gamma}^{}(\sin(1/(z-1)))/(z^2-1) dz$
Dove $\Gamma$ è la circonferenza di centro (0,0) e raggio 3
Le mie difficoltà sono nello studiare le singolarità e i relativi residui, quindi vi chiedo una spiegazione piu' approfondita per quanto riguarda questo punto.
Grazie mille
Risposte
Benvenuto tra noi.
Che cosa hai pensato di fare per l'integrale in questione?
La prima cosa da fare è trovare i punti singolari (di norma sono poli) contenuti nell'interno della curva e in cui calcolare il residuo. Qui, dovrebbe essere evidente che le singolarità sono $z=\pm 1$.
Ok? E i residui? Li hai calcolati?
Che cosa hai pensato di fare per l'integrale in questione?
La prima cosa da fare è trovare i punti singolari (di norma sono poli) contenuti nell'interno della curva e in cui calcolare il residuo. Qui, dovrebbe essere evidente che le singolarità sono $z=\pm 1$.
Ok? E i residui? Li hai calcolati?
Ciao e grazie.
Allora z=-1 è un polo del primo ordine quindi calcolarne il residuo è facile. Non riesco a capire z=1 che tipo di singolarità è...Perchè se fosse essenziale allora il residuo andrebbe trovato con lo sviluppo di Laurent, se fosse un polo con i metodi appropriati. Ho pensato anche di usare il residuo all'infinito ma non ci sono riuscito, non credo sia il metodo.
Come capisco che singolarità è \-1? Come calcolo il residuo?
Permettimi di dire che se avessi calcolato i residui l'esercizio sarebbe svolto...
Allora z=-1 è un polo del primo ordine quindi calcolarne il residuo è facile. Non riesco a capire z=1 che tipo di singolarità è...Perchè se fosse essenziale allora il residuo andrebbe trovato con lo sviluppo di Laurent, se fosse un polo con i metodi appropriati. Ho pensato anche di usare il residuo all'infinito ma non ci sono riuscito, non credo sia il metodo.
Come capisco che singolarità è \-1? Come calcolo il residuo?
Permettimi di dire che se avessi calcolato i residui l'esercizio sarebbe svolto...
Osserva che $f(z)=1/(z+1)*1/(z-1)sin(1/(z-1))$. Usa il solito sviluppo del seno e scrivi lo sviluppo di Laurent di $f$ centrato in $z=1$.
Dovresti trovare che $z=1$ è una singolarità essenziale e dovresti anche vedere subito che il residuo è nullo.
Ti faccio notare, infine, che lo sviluppo di Laurent ti fornisce sempre un metodo per calcolare il residuo, non solo per le singolarità essenziali. E' chiaro che se hai un polo è generalmente più semplice passare dalle solite formule, però in linea di principio puoi sempre scrivere lo sviluppo e leggere da lì il residuo.
Dovresti trovare che $z=1$ è una singolarità essenziale e dovresti anche vedere subito che il residuo è nullo.
Ti faccio notare, infine, che lo sviluppo di Laurent ti fornisce sempre un metodo per calcolare il residuo, non solo per le singolarità essenziali. E' chiaro che se hai un polo è generalmente più semplice passare dalle solite formule, però in linea di principio puoi sempre scrivere lo sviluppo e leggere da lì il residuo.
Scusate, ma non converrebbe calcolare il residuo all'infinito?
Sisi lo so. Coefficiente $a_-1$ dello sviluppo di Laurent.
Scusa ma non so se ho ragionato bene:
$f(z)=1/(z+1)*1/(z-1)sin(1/(z-1)) = 1/(z+1)*\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{2n+1}}{(2n+1)!}(\frac{1}{z-1})^{(2n+2)}$
e da qui capisco che il coefficiente $a_-1$ è $0$ ??
Se non ho saputo fare lo sviluppo puoi aiutarmi per piacere...
Scusa ma non so se ho ragionato bene:
$f(z)=1/(z+1)*1/(z-1)sin(1/(z-1)) = 1/(z+1)*\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{2n+1}}{(2n+1)!}(\frac{1}{z-1})^{(2n+2)}$
e da qui capisco che il coefficiente $a_-1$ è $0$ ??
Se non ho saputo fare lo sviluppo puoi aiutarmi per piacere...
Uh, cavolo, c'è quel fastidioso pezzo $1/(z+1)$ che mi ero perso, mannaggia.
Mi sa che conviene procedere come suggerisce gugo; anche se - di primo acchito - non avrei pensato al residuo all'infinito... gugo, se posso chiedere, perchè dici che è conveniente passare dal residuo all'infinito?
Grazie
Mi sa che conviene procedere come suggerisce gugo; anche se - di primo acchito - non avrei pensato al residuo all'infinito... gugo, se posso chiedere, perchè dici che è conveniente passare dal residuo all'infinito?
Grazie
In realtà è che quasi sempre mi secco a fare i conti con i prodotti di Cauchy tra gli sviluppi di Laurent, quindi quando vedo cose che non mi sconfinferano (e.g., tutte le singolarità dentro il contorno d'integrazione, singolarità essenziali rompiscatole, etc...) mi guardo pure il punto all'infinito.
In questo caso, all'infinito si ha:
\[
\lim_{z\to \infty} \frac{1}{z^2-1}\ \sin \frac{1}{z-1} =0
\]
e d'altra parte:
\[
\frac{1}{z^2-1}\ \sin \frac{1}{z-1} \approx \frac{1}{z^2-1}\ \frac{1}{z-1}\approx \frac{1}{z^3} \qquad \text{per } z\to \infty\; ,
\]
cosicché \(\infty\) è uno zero d'ordine \(3\) per l'integrando; ma ciò mi dice anche che \(\operatorname{Res} (f(z);\infty) =0\), quindi l'integrale è nullo (giacché esso uguaglia la quantità \(-2\pi \imath\ \operatorname{Res} (f(z);\infty)\)).
Detto in maniera più esplicita...
La trasformazione \(w=1/z\) mappa la sfera di Riemann in sé, scambiando \(0\) con \(\infty\) e viceversa ed invertendo gli orientamenti delle curve. Facendo il cambiamento di variabile \(w=1/z\) nell'integrale, si vede che esso equivale a:
\[
\int_{\gamma} \frac{-1}{w^2}\ \frac{1}{\frac{1}{w^2}-1}\ \sin \frac{1}{\frac{1}{w} -1}\ \text{d} w =\int_{\gamma} \frac{-1}{1-w^2}\ \sin \frac{w}{1-w}\ \text{d} w
\]
ove \(\gamma\) è la circonferenza di centro \(0\) e raggio \(1/3\) orientata in senso orario (che le compete come verso positivo per la frontiera di un intorno di \(\infty\)); ne viene che:
\[
\int_{\gamma} \frac{-1}{1-w^2}\ \sin \frac{w}{1-w}\ \text{d} w = -2\pi \imath \operatorname{Res} \left( \frac{-1}{1-w^2}\ \sin \frac{w}{1-w} ; 0\right)\; ;
\]
ma d'altra parte \(w=0\) è un punto di regolarità per \(\frac{-1}{1-w^2}\ \sin \frac{w}{1-w}\) (è uno zero d'ordine \(1\)*), quindi il residuo all'ultimo membro della precedente è nullo.
__________
* E, guarda caso, \(1=3-2\), con \(3\) ordine di \(\infty\) come zero dell'integrando.
In questo caso, all'infinito si ha:
\[
\lim_{z\to \infty} \frac{1}{z^2-1}\ \sin \frac{1}{z-1} =0
\]
e d'altra parte:
\[
\frac{1}{z^2-1}\ \sin \frac{1}{z-1} \approx \frac{1}{z^2-1}\ \frac{1}{z-1}\approx \frac{1}{z^3} \qquad \text{per } z\to \infty\; ,
\]
cosicché \(\infty\) è uno zero d'ordine \(3\) per l'integrando; ma ciò mi dice anche che \(\operatorname{Res} (f(z);\infty) =0\), quindi l'integrale è nullo (giacché esso uguaglia la quantità \(-2\pi \imath\ \operatorname{Res} (f(z);\infty)\)).
Detto in maniera più esplicita...
La trasformazione \(w=1/z\) mappa la sfera di Riemann in sé, scambiando \(0\) con \(\infty\) e viceversa ed invertendo gli orientamenti delle curve. Facendo il cambiamento di variabile \(w=1/z\) nell'integrale, si vede che esso equivale a:
\[
\int_{\gamma} \frac{-1}{w^2}\ \frac{1}{\frac{1}{w^2}-1}\ \sin \frac{1}{\frac{1}{w} -1}\ \text{d} w =\int_{\gamma} \frac{-1}{1-w^2}\ \sin \frac{w}{1-w}\ \text{d} w
\]
ove \(\gamma\) è la circonferenza di centro \(0\) e raggio \(1/3\) orientata in senso orario (che le compete come verso positivo per la frontiera di un intorno di \(\infty\)); ne viene che:
\[
\int_{\gamma} \frac{-1}{1-w^2}\ \sin \frac{w}{1-w}\ \text{d} w = -2\pi \imath \operatorname{Res} \left( \frac{-1}{1-w^2}\ \sin \frac{w}{1-w} ; 0\right)\; ;
\]
ma d'altra parte \(w=0\) è un punto di regolarità per \(\frac{-1}{1-w^2}\ \sin \frac{w}{1-w}\) (è uno zero d'ordine \(1\)*), quindi il residuo all'ultimo membro della precedente è nullo.
__________
* E, guarda caso, \(1=3-2\), con \(3\) ordine di \(\infty\) come zero dell'integrando.
Capito, capito.
In pratica ponendo $z=1/w$ si arriva ad un integrale esteso ad una circonferenza di centro $0$ e raggio $1/3$ nel cui cerchio descritto la funzione integranda è olomorfa e per il teorema di Cauchy tale integrale è nullo.
Giusto?
Sembrerò infantile ma...cavolo ci si poteva arrivare...vabbeh basta
Grazieeeeeeee siete stati gentilissimi
In pratica ponendo $z=1/w$ si arriva ad un integrale esteso ad una circonferenza di centro $0$ e raggio $1/3$ nel cui cerchio descritto la funzione integranda è olomorfa e per il teorema di Cauchy tale integrale è nullo.
Giusto?
Sembrerò infantile ma...cavolo ci si poteva arrivare...vabbeh basta
Grazieeeeeeee siete stati gentilissimi
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