Aiuto integrale campo complesso

[ConteAchif]

ciao ragazzi, mi sono imbattuto in un integrale da svolgere in campo complesso che mi ha lasciato perplesso.

$\int_{0}^{pi} (d theta)/(1-2r cos(theta)+r^2) $ . $\0<=r<1$

Io ho sostituito z=$\e^(itheta)$ $\Rightarrow$ d$\theta$=-idz/z $\Rightarrow$ 2cos$\theta$ = z + z$\^-1$ sul percorso tra 0 e 2$\pi$ che ho preso moltiplicato per 1/2. insomma per farla breve dopo aver integrato in campo complesso tramite teorema dei residui in z=r la funzione $\f(z)= 1/((z-r)(z-1/r))$ ho ottenuto un certo risultato. Ora controllando su quanto scritto dal prof. è venuto fuori che l'integrale era calcolato tra 0 e $\pi$ chiudendo il percorso sull'asse delle x e considerando in valore principale l'integrale tra -1 e 1 che lascia il polo fuori dal semicerchio. In pratica la somma degli integrali sul semicerchio è zero (dato che non ci sono singolarità) ed ha ricavato il valore dell'integrale sull'arco.
La domanda è questa: il mio metodo è sbagliato? posso uguagliare l'integrale tra 0 e $\pi$ con la metà di quello tra 0 e $\2pi$? lo posso fare in generale?

[wnvl]

$\int_{0}^{pi} (d theta)/(1-2r cos(theta)+r^2) $ . $\0<=r<1$

sostituisci $gamma = theta - pi$

$=\int_{pi}^{2pi} (d gamma)/(1-2r cos(gamma+pi)+r^2) $ . $\0<=r<1$
$=\int_{pi}^{2pi} (d gamma)/(1+2r cos(gamma)+r^2) $ . $\0<=r<1$
$=\int_{pi}^{\frac{3pi}{2}} (d gamma)/(1+2r cos(gamma)+r^2)+\int_{\frac{3pi}{2}}^{2pi} (d gamma)/(1+2r cos(gamma)+r^2) $ . $\0<=r<1$
$=\int_{2pi}^{\frac{3pi}{2}} (-d gamma)/(1-2r cos(gamma)+r^2)+\int_{\frac{3pi}{2}}^{pi} (-d gamma)/(1-2r cos(gamma)+r^2) $ . $\0<=r<1$
$=\int_{pi}^{2pi} (d gamma)/(1-2r cos(gamma)+r^2) $ . $\0<=r<1$

dunque

$\int_{0}^{pi} (d theta)/(1-2r cos(theta)+r^2) =\frac{1}{2}\int_{0}^{2pi} (d theta)/(1-2r cos(theta)+r^2)$ . $\0<=r<1$

[ConteAchif]

quindi se il problema è impostato correttamente devo aver fatto qualche altro errore di cui non mi sono accorto...
Grazie mille per la risposta!