Aiuto integrale

[teresamarmoriro-votailprof]

$\int_{1}^{2} (1/(sqrt(x-1)+logx)) dx$ studiare se l'integrale è convergente
$\lim_{x \to 1^+}(1/(sqrt(x-1)+logx) / (1/(x-1))^\alpha)$
$=\lim_{x \to 1^+}((x-1)^\alpha)/(sqrt(x-1)+logx) = 1$

$\alpha = 1/2$ converge $0<=\alpha<=1$

é giusto?

[Hadronen]

"nullasuccedepercaso":$\int_{1}^{2} (1/(sqrt(x-1)+logx)) dx$ studiare se l'integrale è convergente
$\lim_{x \to 1^+}(1/(sqrt(x-1)+logx) / (1/(x-1))^\alpha)$
$=\lim_{x \to 1^+}((x-1)^\alpha)/(sqrt(x-1)+logx) = 1$

$\alpha = 1/2$ converge $0<=\alpha<=1$

é giusto?

Non ti chiede per quali $\alpha$ l'integrale converge... Non c'è nessun $\alpha$ !

$1/(sqrt(x-1)+logx) <= 1/(sqrt(x-1))$

$\int_{1}^{2} 1/(sqrt(x-1)) dx = \int_{0}^{1} 1/sqrt(y) dy$ ...che converge.

... e dunque converge anche il tuo integrale.

[teresamarmoriro-votailprof]

grazie mille per la aver fatto chiarezza, cerco di rifarlo..

[gugo82]

In realtà l'idea usata era buona, poiché si basava su un confronto asintotico con una funzione dalla sommabilità nota.

Il contariello, però, andava descritto meglio.
Ad esempio, avresti potuto dire che, vista la relazione \(\log (1+y)\approx y\) per \(y\to 0\), si ha:
\[
\sqrt{x-1} + \log x = \sqrt{x-1} + \log [1+(x-1)]\approx \sqrt{x-1} +(x-1)\approx \sqrt{x-1}\; ,
\]
dunque l'integrando è asintoticamente equivalente a \(1/\sqrt{x-1}\) in \(1\), cioè è un infinito d'ordine \(1/2\) rispetto al campione \(1/|x-1|\); pertanto l'integrando è sommabile intorno a \(1\).
Inoltre, essendo l'integrando continuo in \(]1,2]\), l'integrale assegnato esiste certamente finito.