Aiuto integrale

[*brssfn76]

Non capisco quanto letto su una dispensa sul seguente integrale : $\int 1/(1+cos(\theta))^2 d\theta$ dopo alcuni passaggi capiti viene scritto nelle seguente forma
$1/2\int 1/cos(\theta/2)^2 d(tan(\theta/2))=sin\theta/3 (2+cos\theta)/(1+cos\theta)^2$ ma come arriva a questo risultato?? il testo dice integrare per parti ma come?

grazie

[Luca.Lussardi]

E' un'integrazione per sostituzione, non per parti: devi usare le classiche formule parametriche per $sin$ e $cos$, funzionano ogni volta che integri una funzione razionale di $sin$ e $cos$.

[*brssfn76]

Intendi queste formule? :
$t=tg(\theta/2) , cos\theta = (1-t^2)/(1+t^2)$

[deserto1]

A dire la verità mi sembra un integrale immediato, ossia che non necessita di sostituzioni di variabili o di particolari artifici.
E' sufficiente notare che
$1/2\int 1/cos(\theta/2)^2 d(tan(\theta/2))=1/2\int (1+(tan(\theta/2))^2 )d(tan(\theta/2))=1/2tan(\theta/2)+1/6(tan(\theta/2))^3$

[@melia]

"deserto":A dire la verità mi sembra un integrale immediato, ossia che non necessita di sostituzioni di variabili o di particolari artifici.
E' sufficiente notare che
$1/2\int 1/cos(\theta/2)^2 d(tan(\theta/2))=1/2\int (1+(tan(\theta/2))^2 )d(tan(\theta/2))=1/2tan(\theta/2)+1/6(tan(\theta/2))^3$

Esattamente, infatti le formule che legano seno e coseno alla tangente dell'arco metà vanno usate dopo, non prima:
$1/2tan(\theta/2)+1/6(tan(\theta/2))^3=1/6tan(\theta/2)*(3+(tan(\theta/2))^2)=$ sostituendo $tan(\theta/2)=(sin (theta))/(1+cos(theta))$ e $(tan(\theta/2))^2=(1-cos (theta))/(1+cos(theta))$ ottieni proprio il risultato cercato