Aiuto integrale

[chiarnik]

salve ragazzi ho questo integrale, ma arrivo ad 1 punto che poi nn so più in che forma esprimerlo..mi spiego:
$\ int (sqrt(x^2+1))/x$
allora opero la sostituzione $x=tgu$ $dx=sec^(2)u du$
quindi l'integrale diventa $\int sinu/cos^4(u)$
opero un'altra sostituzione t= cos u e alla fine ho l'integrale $-int 1/(t^4)$
quindi $1/(3t^3)$
ora vado a sostituire la t e la u e ottengo $1/(3cos^3arctx)$
ma come la devo esprimere in una forma + umana ? xD

[victory92]

poni $x^2+1=u^2$ e vedrai che la risolvi in un modo più "umano"

[Pierlu11]

Prova a sostituire $ x $ con $ sinht $ così puoi sfruttare la relazione $ cosh^2t -sinh^2t=1 $ ...

[chiarnik]

okk grazie mille

[victory92]

sconsiglio di usare la sostituzione di x con sinht in quanto poi dovresti fare molti più passaggi. se hai provato a fare la sostituzione da me suggerita trovi $x=sqrt(u^2-1)=>dx=u/sqrt(u^2-1)du$ e quindi l'integrale ti diventa molto semplice:
$ int u^2/(u^2-1) du=int ((u^2-1)/(u^2-1)+1/(u^2-1)) du= u+1/2int (1/(u-1)-1/(u+1)) du $ dove ho aggiunto e sottratto al numeratore 1 nel primo passaggio e nel secondo mi sono accorto che $ 1/(u-1)-1/(u+1)=2/(u^2-1) $ . a questo punto il risultato è:
$ u+1/2log|u-1|-1/2log|u+1|=sqrt(x^2+1)+1/2log(sqrt(x^2+1)-1)-1/2log(sqrt(x^2+1)+1) $
N.B. ho tolto i valori assoluti perché all'interno dei logaritmi hai numeri che sono sempre maggiori o uguali di zero, ma devi considerare anche che per poter esistere il $log(sqrt(x^2+1)-1)$ devi porre l'argomento del log maggiore di zero e quindi $xne0$.