Aiuto f(x) fratta e logaritmica
Salve a tutti,
**DISCLAIMER** anzitutto vorrei chiarire che non cerco solo una spiegazione all'esercizio singolo, ma se sapeste "linkarmi" spiegazioni agli eventuali errori che commetto ve ne sarei grato.
(I) C.E.
l'argomento del logaritmo naturale deve essere maggiore di 0 e, se vogliamo, diverso da 1, per quanto riguarda il denominatore esso deve essere ≠ 0 , il che significa $ lnx-1 ≠ 0 $ , cioè $ lnx ≠ 1 $ , passando ai logaritmi questo si traduce in $ e^lnx ≠ e^0 $ , vale a dire $ x ≠ 1 $
Quindi C.E. = $ (0,1)U(1,∞) $ posso supporre che 1 sarà asintoto verticale.
(II) positività
Pongo $ f(x)>0 $, mettendo a sistema numeratore e denominatore ottengo che la funzione sarà positiva per valori $ 0
(III) derivata prima, crescenza e decrescenza della funzione
$ D(fx)= ((1/x*lnx-1)-lnx*1/x)/(lnx-1)^2 $
risolvendo ottengo $ -1/(lnx-1)^2 $ , come posso utilizzare questo e come prosegue l'esercizio?
Grazie a chi saprà aiutarmi
Edit: ho scordato di scrivere che ho calcolato anche l'intersezione con gli assi e questo rend eil mio grafico diverso da quello che viene fuori utilizzando i fari risolutori on-line...
**DISCLAIMER** anzitutto vorrei chiarire che non cerco solo una spiegazione all'esercizio singolo, ma se sapeste "linkarmi" spiegazioni agli eventuali errori che commetto ve ne sarei grato.
$ lnx/(lnx-1) $
(I) C.E.
l'argomento del logaritmo naturale deve essere maggiore di 0 e, se vogliamo, diverso da 1, per quanto riguarda il denominatore esso deve essere ≠ 0 , il che significa $ lnx-1 ≠ 0 $ , cioè $ lnx ≠ 1 $ , passando ai logaritmi questo si traduce in $ e^lnx ≠ e^0 $ , vale a dire $ x ≠ 1 $
Quindi C.E. = $ (0,1)U(1,∞) $ posso supporre che 1 sarà asintoto verticale.
(II) positività
Pongo $ f(x)>0 $, mettendo a sistema numeratore e denominatore ottengo che la funzione sarà positiva per valori $ 0
(III) derivata prima, crescenza e decrescenza della funzione
$ D(fx)= ((1/x*lnx-1)-lnx*1/x)/(lnx-1)^2 $
risolvendo ottengo $ -1/(lnx-1)^2 $ , come posso utilizzare questo e come prosegue l'esercizio?
Grazie a chi saprà aiutarmi
Edit: ho scordato di scrivere che ho calcolato anche l'intersezione con gli assi e questo rend eil mio grafico diverso da quello che viene fuori utilizzando i fari risolutori on-line...
Risposte
Ciao Airport75,
Direi proprio di no... Casomai $ D = (0, e) \uu (e, +\infty) $ ed asintoto verticale di equazione $ x = e $
La positività è corretta, ma la derivata mi risulta la seguente:
$f'(x) = - frac{1}{x(ln x - 1)^2} $
che in $D$ è sempre negativa, per cui la funzione proposta $f(x) := frac{ln x}{ln x - 1} $ è decrescente $\AA x \in D $
"Airport75":
Quindi C.E. $ = (0,1) \uu (1, infty) $ posso supporre che 1 sarà asintoto verticale.
Direi proprio di no... Casomai $ D = (0, e) \uu (e, +\infty) $ ed asintoto verticale di equazione $ x = e $
La positività è corretta, ma la derivata mi risulta la seguente:
$f'(x) = - frac{1}{x(ln x - 1)^2} $
che in $D$ è sempre negativa, per cui la funzione proposta $f(x) := frac{ln x}{ln x - 1} $ è decrescente $\AA x \in D $
Grazie pilloeffe, come arrivi a definire quel C.E.? Sicuramente sbaglio il rigirarmi il logaritmo...
"Airport75":
Grazie pilloeffe
Prego
"Airport75":
come arrivi a definire quel C.E.?
Molto semplice: $ ln x - 1 \ne 0 \implies ln x \ne 1 \implies ln x \ne ln e \implies x \ne e $
Poi considerando che deve essere $x > 0 $ arrivi subito al dominio $D $ che ti ho scritto nel mio post precedente.
Ti ringrazio, ora provo ad andare avanti
"pilloeffe":
[...] la derivata mi risulta la seguente:
$f'(x) = - frac{1}{x(ln x - 1)^2} $
che in $D$ è sempre negativa, per cui la funzione proposta $f(x) := frac{ln x}{ln x - 1} $ è decrescente $\AA x \in D $
Occhio... La funzione $f$ è decrescente in $]0,e[$ ed in $]e,+oo[$, ma non è decrescente in $D$!!!
Ciao gugo82,
Perdonami, sarà che con l'età comincio a perdere colpi, ma non ho capito la tua risposta...
Non credo ci siano dubbi sul fatto che il dominio della funzione sia $ D = (0, e) \uu (e, +\infty) $
In tale dominio la derivata prima è sempre negativa, per cui la funzione è sempre decrescente: se si fa il grafico si vede che la funzione decresce in $(0, e) $, $ lim_{x \to e^-} f(x) = -\infty $, $ lim_{x \to e^+} f(x) = +\infty $, decresce in $(e, +\infty) $ e $ lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 $
Mi sto perdendo qualcosa?
Perdonami, sarà che con l'età comincio a perdere colpi, ma non ho capito la tua risposta...
Non credo ci siano dubbi sul fatto che il dominio della funzione sia $ D = (0, e) \uu (e, +\infty) $
In tale dominio la derivata prima è sempre negativa, per cui la funzione è sempre decrescente: se si fa il grafico si vede che la funzione decresce in $(0, e) $, $ lim_{x \to e^-} f(x) = -\infty $, $ lim_{x \to e^+} f(x) = +\infty $, decresce in $(e, +\infty) $ e $ lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 $
Mi sto perdendo qualcosa?
Diciamo che dalla definizione di funzione di descrescente in $D$ significherebbe che presi comunque $x,y in D$ tali che $x<=y$ si ha $f(x)>=f(y)$. In particolare nell'esercizio prendendo $x$ appena a sinistra di $e$ e $y$ appena a destra hai una contraddizione.
Quel fatto "derivata negativa in $D$ $=>$ $f$ è decrescente in $D$" vale solo se $D$ è un intervallo, che io sappia.
Quel fatto "derivata negativa in $D$ $=>$ $f$ è decrescente in $D$" vale solo se $D$ è un intervallo, che io sappia.
Ah ok, ho capito, formalmente avete ragione. Di fatto per brevità io adotto la mia personalissima "convenzione locale", ove intendo che la definizione che hai scritto valga in ogni intervallo di cui è formato il dominio.
Tanto per fare un altro esempio più semplice, per brevità scrivo che la funzione $y = 1/x $, definita in $D = \RR -\{0\} = (-\infty, 0) \uu (0, +\infty) $, è decrescente in $D$ intendendo che la definizione che hai scritto valga in $(-\infty, 0) $ e in $ (0, +\infty) $ separatamente (quindi senza poter scegliere $x$ in un intervallo e $y$ in un altro), per evitare di scrivere che la funzione è decrescente in $(-\infty, 0) $ e in $ (0, +\infty) $ ($1$ carattere invece di $15 $, e senza considerare gli spazi... )
Tanto per fare un altro esempio più semplice, per brevità scrivo che la funzione $y = 1/x $, definita in $D = \RR -\{0\} = (-\infty, 0) \uu (0, +\infty) $, è decrescente in $D$ intendendo che la definizione che hai scritto valga in $(-\infty, 0) $ e in $ (0, +\infty) $ separatamente (quindi senza poter scegliere $x$ in un intervallo e $y$ in un altro), per evitare di scrivere che la funzione è decrescente in $(-\infty, 0) $ e in $ (0, +\infty) $ ($1$ carattere invece di $15 $, e senza considerare gli spazi...
)
"pilloeffe":
Ah ok, ho capito, formalmente avete ragione. Di fatto per brevità io adotto la mia personalissima "convenzione locale", ove intendo che la definizione che hai scritto valga in ogni intervallo di cui è formato il dominio.
Tanto per fare un altro esempio più semplice, per brevità scrivo che la funzione $y = 1/x $, definita in $D = \RR -\{0\} = (-\infty, 0) \uu (0, +\infty) $, è decrescente in $D$ intendendo che la definizione che hai scritto valga in $(-\infty, 0) $ e in $ (0, +\infty) $ separatamente (quindi senza poter scegliere $x$ in un intervallo e $y$ in un altro), per evitare di scrivere che la funzione è decrescente in $(-\infty, 0) $ e in $ (0, +\infty) $ ($1$ carattere invece di $15 $, e senza considerare gli spazi...
Convenzione che è un errore, così come scrivere $x^2>1$ se e solo se $x> +-1$.
"gugo82":
così come scrivere $x^2 > 1 $ se e solo se $ x > \pm 1 $.
Non sono d'accordo: la scrittura di cui sopra è priva di significato.
Però il tuo esempio mi piace e lo riciclo: è come scrivere $x^2 > 1 $ se e solo se [tex]x \gtrless \pm 1[/tex]
ove si intende che il primo simbolo $ > $ si riferisca al primo numero $+1 $ e il secondo simbolo $ < $ al secondo numero $- 1 $
"pilloeffe":
[quote="gugo82"] così come scrivere $x^2 > 1 $ se e solo se $ x > \pm 1 $.
Non sono d'accordo: la scrittura di cui sopra è priva di significato.[/quote]
Beh, anche dire che una funzione è monotòna in un insieme quando invece non lo è è del tutto privo di significato, non trovi?
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