Aiuto forma differenziale

[frnero]

Vi scrivo un esercizio che non sono riuscito a svolgere se c'è qualcuno che riesce a risolverlo gli sarei grato. La traccia dice: Determinare la funzione M(x,y) in modo che la forma differenziale sia esatta e che M(x,0)=0
$ Omega=M(x,y)dx+e^(xy)*sinx dy $ .
Allora ecco come l'ho impostato. Ho fatto la derivata parziale del secondo temine($ e^(xy)*sinx$) rispetto ad x. Ho integrato quello il risultato rispetto ad y. Adesso come devo fare per soddisfare la condizione $ M(x,0)=0 $. Ho provato ad usare la costante c imponendo che la funzione $ M(x,0)=0 $ ma in questo modo ottengo una nuova funzione che non soddisfa più l'esattezza della forma differenziale. Avete qualche idea?
Grazie.

[vict85]

La forma differenziale \(\displaystyle \Omega \) è esatta se esiste una 0-forma \(\displaystyle f \) tale che \(\displaystyle df = \Omega \). Si ha che \(\displaystyle df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy \). Perciò \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = e^{xy}\sin x \).

Quindi \(\displaystyle f = \int e^{xy}\sin x\,dy = \sin x \int e^{xy}\,dy = \frac{e^{xy}\sin x}{x} + C(x) \)

A questo punto \(\displaystyle M(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x} = e^{xy}\frac{(xy-1)\sin x + x \cos x}{x^2} + \frac{\partial C(x)}{\partial x} \)

Se non ho fatto errori di calcolo . Comunque hai detto che l'hai calcolato quindi dovresti poter controllare i miei calcoli con i tuoi.

Porre \(\displaystyle M(x,0) = 0 \) vuol dire fare esattamente quello:

\(\displaystyle \frac{-\sin x + x\cos x}{x^2} + \frac{\partial C(x)}{\partial x} = 0 \)

che è semplice perché \(\displaystyle \frac{-\sin x + x\cos x}{x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\frac{\sin x}{x} \). Perciò \(\displaystyle C(x) = \frac{\sin x}{x} + k \) e il resto è evidente.

[frnero]

ok grazie mille!