Aiuto forma differenziale
Vi scrivo un esercizio che non sono riuscito a svolgere se c'è qualcuno che riesce a risolverlo gli sarei grato. La traccia dice: Determinare la funzione M(x,y) in modo che la forma differenziale sia esatta e che M(x,0)=0
$ Omega=M(x,y)dx+e^(xy)*sinx dy $ .
Allora ecco come l'ho impostato. Ho fatto la derivata parziale del secondo temine($ e^(xy)*sinx$) rispetto ad x. Ho integrato quello il risultato rispetto ad y. Adesso come devo fare per soddisfare la condizione $ M(x,0)=0 $. Ho provato ad usare la costante c imponendo che la funzione $ M(x,0)=0 $ ma in questo modo ottengo una nuova funzione che non soddisfa più l'esattezza della forma differenziale. Avete qualche idea?
Grazie.
$ Omega=M(x,y)dx+e^(xy)*sinx dy $ .
Allora ecco come l'ho impostato. Ho fatto la derivata parziale del secondo temine($ e^(xy)*sinx$) rispetto ad x. Ho integrato quello il risultato rispetto ad y. Adesso come devo fare per soddisfare la condizione $ M(x,0)=0 $. Ho provato ad usare la costante c imponendo che la funzione $ M(x,0)=0 $ ma in questo modo ottengo una nuova funzione che non soddisfa più l'esattezza della forma differenziale. Avete qualche idea?
Grazie.
Risposte
La forma differenziale \(\displaystyle \Omega \) è esatta se esiste una 0-forma \(\displaystyle f \) tale che \(\displaystyle df = \Omega \). Si ha che \(\displaystyle df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy \). Perciò \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = e^{xy}\sin x \).
Quindi \(\displaystyle f = \int e^{xy}\sin x\,dy = \sin x \int e^{xy}\,dy = \frac{e^{xy}\sin x}{x} + C(x) \)
A questo punto \(\displaystyle M(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x} = e^{xy}\frac{(xy-1)\sin x + x \cos x}{x^2} + \frac{\partial C(x)}{\partial x} \)
Se non ho fatto errori di calcolo
. Comunque hai detto che l'hai calcolato quindi dovresti poter controllare i miei calcoli con i tuoi.
Porre \(\displaystyle M(x,0) = 0 \) vuol dire fare esattamente quello:
\(\displaystyle \frac{-\sin x + x\cos x}{x^2} + \frac{\partial C(x)}{\partial x} = 0 \)
che è semplice perché \(\displaystyle \frac{-\sin x + x\cos x}{x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\frac{\sin x}{x} \). Perciò \(\displaystyle C(x) = \frac{\sin x}{x} + k \) e il resto è evidente.
Quindi \(\displaystyle f = \int e^{xy}\sin x\,dy = \sin x \int e^{xy}\,dy = \frac{e^{xy}\sin x}{x} + C(x) \)
A questo punto \(\displaystyle M(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x} = e^{xy}\frac{(xy-1)\sin x + x \cos x}{x^2} + \frac{\partial C(x)}{\partial x} \)
Se non ho fatto errori di calcolo

Porre \(\displaystyle M(x,0) = 0 \) vuol dire fare esattamente quello:
\(\displaystyle \frac{-\sin x + x\cos x}{x^2} + \frac{\partial C(x)}{\partial x} = 0 \)
che è semplice perché \(\displaystyle \frac{-\sin x + x\cos x}{x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\frac{\sin x}{x} \). Perciò \(\displaystyle C(x) = \frac{\sin x}{x} + k \) e il resto è evidente.
ok grazie mille!