Aiuto Esercizio una funzione 2 var
Ciao mi aiutate a determinare il domini di una funzione
$ lim f(x,y) per (x,y)->(0,0)$
$(x+y)^2 / (x^2 + y^2)^2 $
Grazie
$ lim f(x,y) per (x,y)->(0,0)$
$(x+y)^2 / (x^2 + y^2)^2 $
Grazie
Risposte
Se la funzione è $f(x,y)= (x+y)^2/(x^2+y^2)^2$ allora è abbastanza facile, in quanto è una semplice funzione fratta. Basta domandarti qual è la condizione di esistenza di una funzione fratta!? 
In realtà secondo me la funzione è definita $0$ in $(0,0)$ e l'esercizio consiste nello stabilire se è continua in questo punto.
Almeno così sembrerebbe dalle formule blu, quello che ha scritto come introduzione non c'entra niente però.
Almeno così sembrerebbe dalle formule blu, quello che ha scritto come introduzione non c'entra niente però.
Ops hai ragione, devo determinare se è continua nel punto (0,0) ed il dominio.
Per il Dominio pongo:
$(x^2+y^2)^2 != 0 => x^4+2x^2y^2+y^4!=0$
Per il Dominio pongo:
$(x^2+y^2)^2 != 0 => x^4+2x^2y^2+y^4!=0$
È inutile che sviluppi il quadrato, un termine al quadrato vale 0 solo quando la sua base è 0, ed è diverso da zero se la sua base è diversa da 0. Basta porre $x^2+y^2!=0$, ma la soma di due numeri non negativi è 0 solo se entrambi sono 0, quindi ...
Per cui se è definita "a mano" nel punto $(0,0)$ non hai problemi per il dominio. Visto che è sottointeso che ti stia chiedendo il massimo dominio possibile, puoi concludere che è tutto $RR^2$.
Grazie mille per l'aiuto e la chiarezza.
per determinare che il limite esiste invece:
pongo x=0 ottengo $1/y^2$
pongo y=0 ottengo $1/x^2$
??
per determinare che il limite esiste invece:
pongo x=0 ottengo $1/y^2$
pongo y=0 ottengo $1/x^2$
??
Non penso tu l'abbia fatto con cognizione di causa, ma in effetti in questo caso porre una delle 2 variabili uguale a $0$ ti permette di osservare che il limite NON esiste.
Infatti affinché sia continua il limite deve esistere finito (ed essere uguale a $0$) avvicinandosi all'origine in tutti i modi possibili.
Ponendo ad esempio $y=0$ ti stai limitando alla retta delle ascisse. Se ora fai tendere $x$ a $0$ ti accorgi che... e questo è sufficiente per concludere.
Attento però che questo metodo è utile solo per trovare controesempi e dimostrare quindi che NON è continua, se il limite lungo l'asse $x$ fosse stato $0$ non avresti potuto concludere che è continua, perché è solo uno degli infiniti modi di avvicinarsi all'origine e non è detto che il limite sia uguale per tutti.
Infatti affinché sia continua il limite deve esistere finito (ed essere uguale a $0$) avvicinandosi all'origine in tutti i modi possibili.
Ponendo ad esempio $y=0$ ti stai limitando alla retta delle ascisse. Se ora fai tendere $x$ a $0$ ti accorgi che... e questo è sufficiente per concludere.
Attento però che questo metodo è utile solo per trovare controesempi e dimostrare quindi che NON è continua, se il limite lungo l'asse $x$ fosse stato $0$ non avresti potuto concludere che è continua, perché è solo uno degli infiniti modi di avvicinarsi all'origine e non è detto che il limite sia uguale per tutti.
Quindi poinche i limiti discostano posso evincere che il limite non esista, in questo caso?
Che vuol dire "i limiti discostano"?
Non tendono nella stessa direzione?
1) Quali limiti?
2) Parli in maniera pessima
. Un limite (di funzione a valori reali) non tende e non a una direzione. E' un numero, oppure $+-oo$.
2) Parli in maniera pessima
. Un limite (di funzione a valori reali) non tende e non a una direzione. E' un numero, oppure $+-oo$.
Ok scusami intendevo nell'esercizio precedente.
Cerco di spiegarmi meglio, ti chiedo scusa e un pò di pazienza, posso dire che siccome sull'asse x ed y i limiti assumono valori differenti, questo mi permette di dedurre che non esiste?.
Ho trovato la risposta all'esercizio in cui sostiene che il limite tende a +infinito
Cerco di spiegarmi meglio, ti chiedo scusa e un pò di pazienza, posso dire che siccome sull'asse x ed y i limiti assumono valori differenti, questo mi permette di dedurre che non esiste?.
in effetti in questo caso porre una delle 2 variabili uguale a 0 ti permette di osservare che il limite NON esiste.
Ho trovato la risposta all'esercizio in cui sostiene che il limite tende a +infinito
Scusami ho sbagliato io, intendevo che essendo il limite infinito non può essere continua in quel punto. Infatti, affinché sia continua, il limite deve essere uguale al valore che la funzione assume nel punto. Se il limite non esiste finito (ed è questo che intendevo), questo di sicuro non può accadere.
Quindi il problema non è quello che dici tu, perché in questo caso in realtà il limite lungo i due assi è esattamente lo stesso ($+oo$). Comunque sì, nel caso in cui avessi trovato due valori differenti per il limite calcolato lungo i due assi, sicuramente non sarebbe potuta essere continua, perché i due valori non sarebbero potuti essere entrambi uguali al valore della funzione nel punto.
Quindi il problema non è quello che dici tu, perché in questo caso in realtà il limite lungo i due assi è esattamente lo stesso ($+oo$). Comunque sì, nel caso in cui avessi trovato due valori differenti per il limite calcolato lungo i due assi, sicuramente non sarebbe potuta essere continua, perché i due valori non sarebbero potuti essere entrambi uguali al valore della funzione nel punto.
Ti ringrazio vivamente.
Solo una cosa c'entra il fatto che:
$lim_(x->0) 1/x=\infty$
Solo una cosa c'entra il fatto che:
$lim_(x->0) 1/x=\infty$
Quel limite in realtà non esiste, perché il limite destro è $+oo$ e il limite sinistro è $-oo$, ma forse c'è qualcuno che utilizza quella notazione con l'infinito senza segno proprio per indicare questo (?).
Comunque sì il concetto più o meno è quello, con l'aggiunta che tu a denominatore hai un quadrato, quindi il rapporto è sempre positivo e di conseguenza anche il limite sinistro è $+oo$. Quindi stavolta il limite "generale" esiste ed è ovviamente $+oo$.
Comunque sì il concetto più o meno è quello, con l'aggiunta che tu a denominatore hai un quadrato, quindi il rapporto è sempre positivo e di conseguenza anche il limite sinistro è $+oo$. Quindi stavolta il limite "generale" esiste ed è ovviamente $+oo$.
In questo caso
$f(x,y)=(x^3-y^2)/(x^2+xy+y^2)$
per
$lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y)$
calcolo
$x=0 => -1$
$y=0 => x$
Questo è sufficiente per concludere che il limite non esiste?
$f(x,y)=(x^3-y^2)/(x^2+xy+y^2)$
per
$lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y)$
calcolo
$x=0 => -1$
$y=0 => x$
Questo è sufficiente per concludere che il limite non esiste?
Sì ma devi concludere il ragionamento, più o meno in questo modo:
"La funzione calcolata lungo l'asse verticale è costantemente uguale a -1 e quindi in particolare il suo limite nell'origine lungo questa direzione è -1.
La funzione calcolata lungo l'asse orizzontale è $f(x, 0)=x$, dunque il suo limite nell'origine lungo questa direzione è 0.
Conseguenza: in qualsiasi modo la funzione sia definita nell'origine, non può essere ivi continua."
Nota comunque che te in realtà sai già per ipotesi quanto vale la funzione in $(0,0)$ e puoi sfruttarlo a tuo vantaggio. In questo caso, per esempio, se è definita 0 come di solito avviene per questa tipologia di esercizi, era sufficiente guardare il limite lungo l'asse y (con x=0) che è -1 per concludere che non coincidendo con 0 non può essere continua.
"La funzione calcolata lungo l'asse verticale è costantemente uguale a -1 e quindi in particolare il suo limite nell'origine lungo questa direzione è -1.
La funzione calcolata lungo l'asse orizzontale è $f(x, 0)=x$, dunque il suo limite nell'origine lungo questa direzione è 0.
Conseguenza: in qualsiasi modo la funzione sia definita nell'origine, non può essere ivi continua."
Nota comunque che te in realtà sai già per ipotesi quanto vale la funzione in $(0,0)$ e puoi sfruttarlo a tuo vantaggio. In questo caso, per esempio, se è definita 0 come di solito avviene per questa tipologia di esercizi, era sufficiente guardare il limite lungo l'asse y (con x=0) che è -1 per concludere che non coincidendo con 0 non può essere continua.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo