Aiuto esercizio sulla convergenza puntuale e convergenza uniforme
Salve a tutti 
Siccome sono nuova nel forum, vi chiedo perdono in anticipo per eventuali errori.
Ho un pò di problemi con gli esercizi riguardo la convergenza puntuale e la convergenza uniforme.
In particolar modo mi sono imbattuta in questo esercizio:
fn(x)= (nx^(2)+x)/(n+1)
Studiare la convergenza puntuale e la convergenza uniforme.
So dalla definizione che nel momento in cui una successione di funzioni converge puntualmente si deve avere che:
\( \\lim_{n \to \infty}fn(x)=f(x)\)
mentre per avere la convergenza uniforme:
per ogni $\epsilon$>0 $EE$n(segnato)$in$$NN$:|fn(x)-f(x)|<$\epsilon$
In forma teorica credo che ci siamo.. tuttavia riguardo lo svolgimento dell'esercizio non saprei proprio da dove cominciare....
Spero in un vostro aiuto..
Grazie in anticipo
Siccome sono nuova nel forum, vi chiedo perdono in anticipo per eventuali errori.
Ho un pò di problemi con gli esercizi riguardo la convergenza puntuale e la convergenza uniforme.
In particolar modo mi sono imbattuta in questo esercizio:
fn(x)= (nx^(2)+x)/(n+1)
Studiare la convergenza puntuale e la convergenza uniforme.
So dalla definizione che nel momento in cui una successione di funzioni converge puntualmente si deve avere che:
\( \\lim_{n \to \infty}fn(x)=f(x)\)
mentre per avere la convergenza uniforme:
per ogni $\epsilon$>0 $EE$n(segnato)$in$$NN$:|fn(x)-f(x)|<$\epsilon$
In forma teorica credo che ci siamo.. tuttavia riguardo lo svolgimento dell'esercizio non saprei proprio da dove cominciare....
Spero in un vostro aiuto..
Grazie in anticipo
Risposte
Applica la definizione e fai il limite della tua $f_n(x)$. Nel tuo caso per $x_0\in R$:
\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{nx^2+x}{n+1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{nx^2}{n}=x^2
\end{equation}
in quanto per x fissato quello che domina è n. Quindi la funzione converge puntualmente alla funzione $f(x)=x^2$ in $R$. Attenzione che le cose si possono complicare, e in alcuni eserczi a seconda del valore di $x$ la serie potrebbe divergere. Quindi bisogna restringere l'intervallo.
Per la convergenza uniforme applica la definizione e vedi se il sup ti viene zero.
\begin{equation}
sup_{x\in R}|f_n(x)-f(x)|=sup_{x\in R}| \frac{nx^2+x}{n+1}-x^2|=sup_{x\in R}| \frac{nx^2+x-nx^2-x^2}{n+1}|=sup_{x\in R}| \frac{x-x^2}{n+1}|\rightarrow 0
\end{equation}
Se hai dei dubbi chiedi pure
\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{nx^2+x}{n+1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{nx^2}{n}=x^2
\end{equation}
in quanto per x fissato quello che domina è n. Quindi la funzione converge puntualmente alla funzione $f(x)=x^2$ in $R$. Attenzione che le cose si possono complicare, e in alcuni eserczi a seconda del valore di $x$ la serie potrebbe divergere. Quindi bisogna restringere l'intervallo.
Per la convergenza uniforme applica la definizione e vedi se il sup ti viene zero.
\begin{equation}
sup_{x\in R}|f_n(x)-f(x)|=sup_{x\in R}| \frac{nx^2+x}{n+1}-x^2|=sup_{x\in R}| \frac{nx^2+x-nx^2-x^2}{n+1}|=sup_{x\in R}| \frac{x-x^2}{n+1}|\rightarrow 0
\end{equation}
Se hai dei dubbi chiedi pure
Scusate se mi intrometto...ma in genere per studiare la convergenza uniforme non conviene studiare quella totale? "appoggiandosi" a disuguaglianze note oppure derivare la funzione per trovare il massimo assoluto e quindi la funzione nel punto di massimo che se convergerà ci dirà che la funzione iniziale converge totalmente e quindi anche uniformemente?
In questo caso viene abbastanza semplice con la definizione...consigli di fare sempre con la definizione?
Infine, il risultato del sup viene 0 perchè noi stiamo facendo il $lim_{n \to \infty}$ del sup vero?
In questo caso viene abbastanza semplice con la definizione...consigli di fare sempre con la definizione?
Infine, il risultato del sup viene 0 perchè noi stiamo facendo il $lim_{n \to \infty}$ del sup vero?
Secondo me $ Sup_(x\inRR)|x-x^2|/(n+1)=+oo $
Ho fatto quel procedimento perchè la successione era abbastanza semplice. E ha ragione ostrogoto ho scritto una castroneria. il risultato spero corretto è:
\begin{equation}
lim_{n\rightarrow+\infty}sup_{x \in R} \frac{|x-x^2|}{n+1}=+\infty
\end{equation}
in quanto $x\rightarrow+\infty$ e quindi la successione non converge in $R$. Mentre se consideriamo intervalli $I=[a,b]$, con $0\lea\le b$ si ha per $n\rightarrow+\infty$
\begin{equation}
lim_{n\rightarrow+\infty}sup_{a\le x\le b} \frac{|x-x^2|}{n+1}=lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{b-b^2}{n+1}\le lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{b-b^2}{n}\rightarrow0
\end{equation}
\begin{equation}
lim_{n\rightarrow+\infty}sup_{x \in R} \frac{|x-x^2|}{n+1}=+\infty
\end{equation}
in quanto $x\rightarrow+\infty$ e quindi la successione non converge in $R$. Mentre se consideriamo intervalli $I=[a,b]$, con $0\lea\le b$ si ha per $n\rightarrow+\infty$
\begin{equation}
lim_{n\rightarrow+\infty}sup_{a\le x\le b} \frac{|x-x^2|}{n+1}=lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{b-b^2}{n+1}\le lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{b-b^2}{n}\rightarrow0
\end{equation}
non sto capendo quando si deve considerare la variabile n e quando la variabile x...
Per dc_gem sono anni che non faccio esercizi sulle successionidi funzioni, e da quel che mi ricordo ho sempre applicato la definizione prestando attenzione ai valori di x, che possono essere molto insidiosi. Usavo il calcolo della derivata per calcolarmi il valore del sup in funzione di n. Guardando la consegna ti chiede di calcolare la convergenza puntuale e uniforme, con il tuo metodo sai che converge ma non sai a quale funzione converge, l'unico modo, a parare mio, è quello di applicare direttamente la definizione.
Per la convergenza uniforme prima si calcola il sup al variare di x poi il limite per $ nrarr+oo $.
Poi gli intervalli da considerare per la convergenza uniforme possono essere $ [a,b] $ con a,b generici ovviamente escludendo $ (-oo,a] $ opure $ [a,+oo) $.
Infatti per intervalli tipo $ [a,b] $ dato che $ |x-x^2| $ e' continua sicuramente avra' un massimo finito M (Weierstrass) e quindi
$ lim_(nrarr+oo) Sup_(x\in[a,b])|x-x^2|/(1+n)=lim_(nrarr+oo) M/(1+n)=0 $ .
Poi gli intervalli da considerare per la convergenza uniforme possono essere $ [a,b] $ con a,b generici ovviamente escludendo $ (-oo,a] $ opure $ [a,+oo) $.
Infatti per intervalli tipo $ [a,b] $ dato che $ |x-x^2| $ e' continua sicuramente avra' un massimo finito M (Weierstrass) e quindi
$ lim_(nrarr+oo) Sup_(x\in[a,b])|x-x^2|/(1+n)=lim_(nrarr+oo) M/(1+n)=0 $ .
io sono andato in confusione...
dc_gem pensa a una cipolla, parti dall'interno e via via verso l'esterno. Prima valuti il sup della funzione nel tuo intervallo poi calcoli il limite di n.
\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow\infty}\{sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|\}
\end{equation}
\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow\infty}\{sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|\}
\end{equation}
ok ma il nostro intervallo qual è??? R?
noi come sup abbiamo calcolato $|(x-x^2)|/(1+n)$ giusto? e qui non capisco perchè dite che fa più infinito...fate il limite per x che tende all'infinito?
di questo facciamo il limite per n all'infinito...che ci viene giustamente 0...lo riduciamo ad un intervallo qualsiasi [a b] perchè abbiamo visto che la nostra funzione è continua ma non infinitesima?
noi come sup abbiamo calcolato $|(x-x^2)|/(1+n)$ giusto? e qui non capisco perchè dite che fa più infinito...fate il limite per x che tende all'infinito?
di questo facciamo il limite per n all'infinito...che ci viene giustamente 0...lo riduciamo ad un intervallo qualsiasi [a b] perchè abbiamo visto che la nostra funzione è continua ma non infinitesima?
Visto che non abbiamo alcuna limitazione, prendiamo come intervallo $R$. Dal momento che $|x-x^2|$ è una funzione continua e crescente il sup lo raggiungerà a più infinito, quindi facciamo il $\lim_{x\rightarrow+\infty}$ e otteniamo:
\begin{equation}
sup_{x \in R}\frac{|x-x^2|}{n+1}=+\infty
\end{equation}
poi dovremmo calcolare il $\lim_{n\rightarrow \infty}$ che fa infinito e quindi non converge uniformente in $R$. Quindi sorge la domanda, visto che la funzione è continua e crescente cosa succede se restringiamo la funzione ad un intervallo chiuso e limitato [a,b], la funzione converge uniformente?
Grafico con n=3
Per esempio guardando il grafico si osserva che per x>1:
Se restringiamo l'intervallo a [1,2], il sup la funzione lo raggiunge in 2, in [2,4] il sup è in 4 e così via, quindi in [a,b] il sup lo raggiunge in b.
Più in generale come diceva Ostrogoto, la funzione continua e crescente in un intervallo [a,b], avra' un massimo finito M (Weierstrass)
\begin{equation}
sup_{x \in [a,b]}\frac{|x-x^2|}{n+1}=\frac{M}{n+1}
\end{equation}
visto che M è numero fissato se noi facciamo
\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{M}{n+1}=0
\end{equation}
Spero di essere stato più chiaro
\begin{equation}
sup_{x \in R}\frac{|x-x^2|}{n+1}=+\infty
\end{equation}
poi dovremmo calcolare il $\lim_{n\rightarrow \infty}$ che fa infinito e quindi non converge uniformente in $R$. Quindi sorge la domanda, visto che la funzione è continua e crescente cosa succede se restringiamo la funzione ad un intervallo chiuso e limitato [a,b], la funzione converge uniformente?
Grafico con n=3
Per esempio guardando il grafico si osserva che per x>1:
Se restringiamo l'intervallo a [1,2], il sup la funzione lo raggiunge in 2, in [2,4] il sup è in 4 e così via, quindi in [a,b] il sup lo raggiunge in b.
Più in generale come diceva Ostrogoto, la funzione continua e crescente in un intervallo [a,b], avra' un massimo finito M (Weierstrass)
\begin{equation}
sup_{x \in [a,b]}\frac{|x-x^2|}{n+1}=\frac{M}{n+1}
\end{equation}
visto che M è numero fissato se noi facciamo
\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{M}{n+1}=0
\end{equation}
Spero di essere stato più chiaro
si ...ora mi sfugge solo una cosa...perchè per n che tende a più infinito in R abbiamo che il limite è + infinito?
Come puoi vedere dal grafico, in $R$ il sup della funzione è $+\infty$, quindi:
\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow\infty}\{sup_{x \in R}\frac{|x-x^2|}{n+1}\}=\lim_{n\rightarrow\infty}\{\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{|x-x^2|}{n+1}\}=\lim_{n\rightarrow\infty} +\infty=+\infty
\end{equation}
\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow\infty}\{sup_{x \in R}\frac{|x-x^2|}{n+1}\}=\lim_{n\rightarrow\infty}\{\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{|x-x^2|}{n+1}\}=\lim_{n\rightarrow\infty} +\infty=+\infty
\end{equation}
ah ok...questo mi sfuggiva...capito...ora devo solo generalizzare la cosa dentro la mia testa per avere un procedimento più o meno fisso da seguire quando faccio questi esercizi...grazie:)
Non c'è di che buona serata
buona serata
Siete stati davvero tutti gentili
Questa discussione è stata molto molto utile
grazie a tuttii
Questa discussione è stata molto molto utile
grazie a tuttii
Non c'è di che. Fai molta attenzione XyonXZ perché questi esercizi nascondo molte insidie ed è molto facile sbagliare. Se hai qualche altro esercizio o qualche altra spiegazione chiedi pure. Buona serata
"HaldoSax":
Non c'è di che. Fai molta attenzione XyonXZ perché questi esercizi nascondo molte insidie ed è molto facile sbagliare. Se hai qualche altro esercizio o qualche altra spiegazione chiedi pure. Buona serata
con le ragazze noto sempre una gentilezza tendente a più infinito...
chissà come mai...
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