Aiuto esercizio serie

[sillettig]

Ciao ragazzi, quest'oggi sto impazzendo con questa serie:

$ sum_(n = \0) 5^n/(3^(2n)+n) $

Come studiarne il comportamento? Inoltre la traccia chiede di trovare una somma approssimata a meno di 1/200. Help please

[Noisemaker]

essendo una serie a termini positivi, puoi ad esempio considerare il comportamento asintotico ....

[sillettig]

io ho pensato che potrei considerare \( 9^n + n \simeq 9^n \) e poi considerare il limite \(lim_{n} 5^n/9^n \) . Questo limite tende a +infinito.. Concludendo che la serie diverge. E' corretto?

[sillettig]

anzi converge a 0 mi correggo, la base è < 1 Giusto?

[Vanzan]

Ciao!!
Ricordati che è criterio necessario ma non sufficiente che $lim_{n \to \infty} (5^n)/(9^n)$
Quindi non puoi dire che la serie converge solo perchè questo limite fa zero.
Prova a usare il confronto asintotico come gia suggerito.
Infine sicuramente la serie non converge a $0$ visto che è a termini positivi e se sommi i primi termini della serie equivalente hai $ 5/9 + 25/81...$

[Noisemaker]

hai che
\begin{align}
\frac{5^n}{3^{2n}+n}\sim\frac{5^n}{9^{n}}=\left(\frac{5 }{9 }\right)^n
\end{align}
dove l'ultimo termine dovresti riconoscere essere il termine generale di una serie....

[sillettig]

Dovrebbe essere una serie geometrica... Visto che |q| < 1 , la somma è $ 1/(1-q) $ giusto?

[Noisemaker]

è una serie geometrica, di ragione $<1$ e dunque convergente; della somma ci interssa be poco, in quanto usiamo quella serie per concludere relativamente alla serie data

[sillettig]

E perchè quella richiesta nella traccia allora? (Ti ringrazio per le risposte comunque )