Aiuto Esercizio Operatore Limitato
Sia T un operatore Limitato su uno spazio di Hilbert. Allora esiste
$ lim_{n \to infty} ||T^n ||^{\frac{1}{n}} = r(T) $ ove $r(t)= $sup$ _ \lambda \in \sigma(T) |lambda|$.
Suggerisce di strutturare la dimostrazione in tre step:
1) posto $a_n = log ||T^n||$, provare che per ogni m ed n: $a_{m+n} \leq a_m + a_n$
2) fissato un intero positivo m e $n=mq+r$ con q ed r interi positivi ed $0 \leq r \leq m-1$, utilizzando 1) provare che
$\overline{\lim_n} \frac{a_n}{n} \leq \frac{a_m}{m}$
3) provare che $ \lim_{n\to \infty} a_n= $inf $\frac{a_n}{n}.$
Il problema è nel punto 2) non riesco a dimostrarlo. Qualcuno può darmi una mano?
$ lim_{n \to infty} ||T^n ||^{\frac{1}{n}} = r(T) $ ove $r(t)= $sup$ _ \lambda \in \sigma(T) |lambda|$.
Suggerisce di strutturare la dimostrazione in tre step:
1) posto $a_n = log ||T^n||$, provare che per ogni m ed n: $a_{m+n} \leq a_m + a_n$
2) fissato un intero positivo m e $n=mq+r$ con q ed r interi positivi ed $0 \leq r \leq m-1$, utilizzando 1) provare che
$\overline{\lim_n} \frac{a_n}{n} \leq \frac{a_m}{m}$
3) provare che $ \lim_{n\to \infty} a_n= $inf $\frac{a_n}{n}.$
Il problema è nel punto 2) non riesco a dimostrarlo. Qualcuno può darmi una mano?
Risposte
Puoi provare a dimostrare che, con le tue notazioni,
\[
\frac{a_n}{n} \leq \frac{q}{q+r/m}\cdot \frac{a_m}{m} + \frac{a_r}{n}\,.
\]
Usa poi il fatto che, per \(n\to +\infty\), anche \(q\to +\infty\), mentre \(0\leq r/m < 1\).
\[
\frac{a_n}{n} \leq \frac{q}{q+r/m}\cdot \frac{a_m}{m} + \frac{a_r}{n}\,.
\]
Usa poi il fatto che, per \(n\to +\infty\), anche \(q\to +\infty\), mentre \(0\leq r/m < 1\).
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