Aiuto esercizio di Analisi B

[lishi]

Salve, ho alcuni problemi con il seguente esercizio di analisi B.

Si consideri la curva $ \tau sub R$ definita dall'equazione $ y*log (xy) = x - y $.
Dopo avere verificato se il punto $P_0(1,1)$ appartiene a $\tau$ si calcoli l'equazione della retta tangente di $ \tau $ in $P_0$ e si valuti se, in prossimità di $P_0$ la curva giace sopra o al di sotto della retta tangente

Se non sbaglio dovrei risolverlo cosi
prima controllo se il punto $P_0$ appartiene alla curva.
Sostituisco i valori di x,y è diventa

$1* log(1) = 1 - 1 = 0$

Poi calcolo equazione della retta tangente.

Guardo prima se è possibile applicare il teorema di dini per il punto $P_0$

$F(x,y) = y*log(xy) -x +y$
$F(1,1) = 0$
$F_y(x,y) = log(xy) + frac{xy}{xy} + 1 = log(xy) +2$
$F_Y(1,1) = 2$


Posso applicare il teorema di Dini e la curva nel punto $(1,1)$ ha una retta tangente di equazione

$ F_x(1,1)(x-1) + F_y(1,1)(y-1) = 0$
$F_x(x,y) = \frac{y}{xy} -1 = \frac{1-x}{x}$
$F_x(1,1) = 0

Da qui la retta tangente :
$0*(x-1) + 2*(y-1) $
$ 2y -2 = 0$

Giusto?

A questo punto come eseguire ultimo punto mi risulta oscuro.

Grazie per la pazienza

[jestripa-votailprof]

ciao!
sugli appunti del mio prof(che ho appena finito di studiare,ora inizio con gli esercizi!) c'è scritto che se una funzione è convessa allora la superficie sta sopra il piano tangente.
per funzioni a 2 variabili devi vedere se c'è la derivata seconda e il suo segno.
Questo è quello che ho trovato,spero ti possa essere d'aiuto!

[jestripa-votailprof]

ascolta,credo che ci sia un errore nella derivata:
$F_y(x,y)=log(xy)+1/y+1$

[lishi]

mi interessava anche sapere se il procedimento per calcolare la retta tangente è giusto.

[lishi]

nessuno?

[jestripa-votailprof]

Per il teorema di dini
$g(x_0,y_0)=0$ e ci siamo

$grad g(x_0,y_0 )$diverso da zero
quindi :
$g_x(x,y)=0 logxy+y/(xy)-1=1/x-1$
$g_y(x,y)=log(xy)+x/(xy)+1=log(xy)+1/y+1$

$g_x(1,1)=0$
$g_y(1,1)=2$

$gradg(x_0,y_0 )=2$ e ci siamo anche qui.

allora l'equazione della retta tangente è:
$g_x(x_0,y_0 )(x-x_0)+g_y(x_0,y_0 )(y-y_0)=0$

cioè:
$2(y-1)=0$

il tuo procedimento credo che sia corretto,anche io l'avrei fatto così.
per l'ultimo punto,come ti dicevo la scorsa volta,quello che ho trovato è questo.
se riesco ti faccio sapere.ma tu un risultato non ce l'hai vero?