Aiuto esercizio derivata

[BoG3]

Ciao, ho una domanda:

ho il seguente esercizio: calcola la derivata prima di $f(x):= ((2x+3)lnx)/e^x$.

Mi sembra un caso del tipo $f(x)/g(x)$ ma la $f(f)$ è lei stessa una composizione di funzione del tipo $h(x)u(x)$.

Quindi faccio così: $f(x)/g(x) = (f'(x)g(x)-f(x)g'(g))/(g(x)^2)$, siccome la mia $f(x)$ è un altra composizione, scrivo:

$f(x)/g(x) = (f'(x)g(x)-f(x)g'(g))/(g(x)^2) =([h'(x)u(x)+h(x)u'(x)]g(x)-f(x)g'(g))/(g(x)^2) =$

$([(2x+3)'lnx + (2x+3)(lnx) ']e^x - (2x+3)lnx(e^x)')/(e^x)^2 $

$([2lnx + (2x+3)/x ']e^x - (2x+3)lnxe^x)/(e^x)^2$, semplifico $e^x$

$([2lnx + (2x+3)/x '] - (2x+3)lnx)/(e^x)$

pero' la scheda suggerisce un risultato diverso... non riesco a capire dove ho sbagliato

[Gi81]

C'è (almeno) un errore di segno: la derivata del prodotto $h(x) u(x)$ è $h'(x) u(x) + h(x) u'(x)$.
Col $+$, non col $-$.

Potresti dire qual è il risultato del libro?

[BoG3]

ho corretto i lsegno, la rip del libro è:

$(2x + 3 − x ln x (2x + 1))/((x2 + 1) (x − 2)^2)$

io ho provato a continuare con le semplificazioni così:
$([2lnx + (2x+3)/x] - (2x+3)lnx)/(e^x)=$, (moltiplico per $x$ sopra e sotto),

$(2xlnx + (2x+3) - x(2x+3)lnx)/(xe^x)$

ma comunque... non coincide

[Gi81]

"BoG": esercizio: calcola la derivata prima di $f(x):= ((2x+3)lnx)/e^x$

La derivata di $(2x+3)lnx$ è $2lnx +(2x+3)/x$

Quindi $f'(x)= {[2lnx +(2x+3)/x]e^x - (2x+3)lnx *e^x }/((e^x)^2) ={2lnx +(2x+3)/x - (2x+3)lnx }/(e^x)= $

$= (lnx *[2-2x-3] +(2x+3)/x )/(e^x)= (x lnx (-2x-1)+2x+3)/(x e^x) = (2x+3 -x lnx (2x+1))/(x e^x)$
che tra l'altro è uguale a quello che viene a te.

Quindi mi torna il numeratore, ma il denominatore proprio no.
Credo ci sia un errore nel libro: deve esserci per forza $e^x$ a denominatore