Aiuto esercizio derivata
Ciao, ho una domanda:
ho il seguente esercizio: calcola la derivata prima di $f(x):= ((2x+3)lnx)/e^x$.
Mi sembra un caso del tipo $f(x)/g(x)$ ma la $f(f)$ è lei stessa una composizione di funzione del tipo $h(x)u(x)$.
Quindi faccio così: $f(x)/g(x) = (f'(x)g(x)-f(x)g'(g))/(g(x)^2)$, siccome la mia $f(x)$ è un altra composizione, scrivo:
$f(x)/g(x) = (f'(x)g(x)-f(x)g'(g))/(g(x)^2) =([h'(x)u(x)+h(x)u'(x)]g(x)-f(x)g'(g))/(g(x)^2) =$
$([(2x+3)'lnx + (2x+3)(lnx) ']e^x - (2x+3)lnx(e^x)')/(e^x)^2 $
$([2lnx + (2x+3)/x ']e^x - (2x+3)lnxe^x)/(e^x)^2$, semplifico $e^x$
$([2lnx + (2x+3)/x '] - (2x+3)lnx)/(e^x)$
pero' la scheda suggerisce un risultato diverso... non riesco a capire dove ho sbagliato
ho il seguente esercizio: calcola la derivata prima di $f(x):= ((2x+3)lnx)/e^x$.
Mi sembra un caso del tipo $f(x)/g(x)$ ma la $f(f)$ è lei stessa una composizione di funzione del tipo $h(x)u(x)$.
Quindi faccio così: $f(x)/g(x) = (f'(x)g(x)-f(x)g'(g))/(g(x)^2)$, siccome la mia $f(x)$ è un altra composizione, scrivo:
$f(x)/g(x) = (f'(x)g(x)-f(x)g'(g))/(g(x)^2) =([h'(x)u(x)+h(x)u'(x)]g(x)-f(x)g'(g))/(g(x)^2) =$
$([(2x+3)'lnx + (2x+3)(lnx) ']e^x - (2x+3)lnx(e^x)')/(e^x)^2 $
$([2lnx + (2x+3)/x ']e^x - (2x+3)lnxe^x)/(e^x)^2$, semplifico $e^x$
$([2lnx + (2x+3)/x '] - (2x+3)lnx)/(e^x)$
pero' la scheda suggerisce un risultato diverso... non riesco a capire dove ho sbagliato
Risposte
C'è (almeno) un errore di segno: la derivata del prodotto $h(x) u(x)$ è $h'(x) u(x) + h(x) u'(x)$.
Col $+$, non col $-$.
Potresti dire qual è il risultato del libro?
Col $+$, non col $-$.
Potresti dire qual è il risultato del libro?
ho corretto i lsegno, la rip del libro è:
$(2x + 3 − x ln x (2x + 1))/((x2 + 1) (x − 2)^2)$
io ho provato a continuare con le semplificazioni così:
$([2lnx + (2x+3)/x] - (2x+3)lnx)/(e^x)=$, (moltiplico per $x$ sopra e sotto),
$(2xlnx + (2x+3) - x(2x+3)lnx)/(xe^x)$
ma comunque... non coincide
$(2x + 3 − x ln x (2x + 1))/((x2 + 1) (x − 2)^2)$
io ho provato a continuare con le semplificazioni così:
$([2lnx + (2x+3)/x] - (2x+3)lnx)/(e^x)=$, (moltiplico per $x$ sopra e sotto),
$(2xlnx + (2x+3) - x(2x+3)lnx)/(xe^x)$
ma comunque... non coincide
"BoG":
esercizio: calcola la derivata prima di $f(x):= ((2x+3)lnx)/e^x$
La derivata di $(2x+3)lnx$ è $2lnx +(2x+3)/x$
Quindi $f'(x)= {[2lnx +(2x+3)/x]e^x - (2x+3)lnx *e^x }/((e^x)^2) ={2lnx +(2x+3)/x - (2x+3)lnx }/(e^x)= $
$= (lnx *[2-2x-3] +(2x+3)/x )/(e^x)= (x lnx (-2x-1)+2x+3)/(x e^x) = (2x+3 -x lnx (2x+1))/(x e^x)$
che tra l'altro è uguale a quello che viene a te.
Quindi mi torna il numeratore, ma il denominatore proprio no.
Credo ci sia un errore nel libro: deve esserci per forza $e^x$ a denominatore