Aiuto Esercizio

[jackqueen]

Come si fa questo esercizio:

Posto $f(x)=(x^n)/(1-x)$ per ogni $ x in ]-1,1[ $ si ha:
a) $ f^n(0)=(n! ) $
b) $ f^n(0)=( (n), (1) ) $
c) $ f^n(0)= (n -1) ! $

Come dovrei affrontarlo?

[Whisky84]

Deriva un po' di volte la tua funzione e calcolala in zero. Dopodiché confrontando tra loro le derivate che hai ottenuto cerca di ricavare l'espressione generale della derivata n-esima calcolata in zero. Sarebbe auspicabile poi cercare di dimostrare la validità dell'espressione che hai scelto.

[Sk_Anonymous]

Io farei così.
Premetto due formule facilmente dimostrabili per induzione.
A) La derivata n-esima di un polinomio $P_{n-1}(x)$ di grado $n-1$ è uguale a 0:
$D^{(n)}[P_{n-1}(x)]=0$
B) la derivata n-esima di $1/(1-x)$ è :
$D^{(n)}[1/{1-x}]={n!}/{(1-x)^{n+1}}$
In particolare per $x=0 $ si ha:
$D^{(n)}[1/{1-x}]_{x=0}=n!$
Posto ciò, risulta identicamente:
C) $x^n/{1-x}={x^n-1}/{1-x}+1/{1-x}=-(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)+1/{1-x}$
Derivando n volte la (C) e tenendo conto di (A) e di (B), risulta:
$D^{(n)}[{x^n}/{1-x}]=0+{n!}/{(1-x)^{n+1}}$
E per $x=0$:
$D^{(n)}[{x^n}/{1-x}]_{x=0}=n!$
Pertanto delle 3 risposte suggerite quella giusta è la (a).

[jackqueen]

Perfetto...Grazie Mille!