Aiuto esercizi analisi 2
salve volevo avere alcune delucidazioni in merito ad esercizi di analisi 2 
lo svolgimento con spiegazione se è possibile di tali limiti :
$ lim_(x -> 0) sin(x^2) / x^3 = 0 $ (derivata lungo x in (0,0)) per verificare la differenziabilità
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la differenziabilità di tale funzione $ F(x,y)= sinh( 2x+y) / (2x+y) $ in (0,0) in particolare l'ultimo limite (quello per deltaX deltaY che tendondo a (0,0) )
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$ lim_(x -> 0)[ |x| + arctan (x) ]/x = 1 $
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la convergenza di tale serie di potenze $ sum_(n = 1)^(+oo ) n/e^n (arcsinx)^n $ risolta ponendo $ x(o) = 0 $ e $ arcsinx=t $
quindi calcolando il raggio di convergenza con il limite $ n rarr +oo $ ottengo $ = e $
quindi $ -e
volevo sapere se ho fatto bene i calcoli e se esiste una soluzione a tale disequazione...
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volevo sapere nella differenziabilità quando si fà la derivata parziale lungo x o (lungo y), al posto della y (o della x) si sostituisce 0 oppure si omette e basta ?? Esempio:
$ F(x,y)= x [(cos(x^2+y^2)-1) / (x^2+y^2)] $
$ il lim_(delx -> 0) delx ((cos(delx^2)-1)/ (delx^3))=0 $
$ il lim_(dely -> 0) 0* ((cos(dely^2)-1)/ (dely^3)) $ si scrive così? con lo 0 che moltiplica tutto? quindi viene anch'esso =0 ?
grazie in anticipo!!
lo svolgimento con spiegazione se è possibile di tali limiti :
$ lim_(x -> 0) sin(x^2) / x^3 = 0 $ (derivata lungo x in (0,0)) per verificare la differenziabilità
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la differenziabilità di tale funzione $ F(x,y)= sinh( 2x+y) / (2x+y) $ in (0,0) in particolare l'ultimo limite (quello per deltaX deltaY che tendondo a (0,0) )
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$ lim_(x -> 0)[ |x| + arctan (x) ]/x = 1 $
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la convergenza di tale serie di potenze $ sum_(n = 1)^(+oo ) n/e^n (arcsinx)^n $ risolta ponendo $ x(o) = 0 $ e $ arcsinx=t $
quindi calcolando il raggio di convergenza con il limite $ n rarr +oo $ ottengo $ = e $
quindi $ -e
volevo sapere se ho fatto bene i calcoli e se esiste una soluzione a tale disequazione...
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volevo sapere nella differenziabilità quando si fà la derivata parziale lungo x o (lungo y), al posto della y (o della x) si sostituisce 0 oppure si omette e basta ?? Esempio:
$ F(x,y)= x [(cos(x^2+y^2)-1) / (x^2+y^2)] $
$ il lim_(delx -> 0) delx ((cos(delx^2)-1)/ (delx^3))=0 $
$ il lim_(dely -> 0) 0* ((cos(dely^2)-1)/ (dely^3)) $ si scrive così? con lo 0 che moltiplica tutto? quindi viene anch'esso =0 ?
grazie in anticipo!!
Risposte
"adrybeach":
volevo sapere nella differenziabilità quando si fà la derivata parziale lungo x o (lungo y), al posto della y (o della x) si sostituisce 0 oppure si omette e basta ?? Esempio:
$ F(x,y)= x [(cos(x^2+y^2)-1) / (x^2+y^2)] $
$ il lim_(delx -> 0) delx ((cos(delx^2)-1)/ (delx^3))=0 $
$ il lim_(dely -> 0) 0* ((cos(dely^2)-1)/ (dely^3)) $ si scrive così? con lo 0 che moltiplica tutto? quindi viene anch'esso =0 ?
grazie in anticipo!!
Quando fai la derivata parziale rispetto ad una variabile, l'altra (o le altre) vanno considerate come fossero costanti proprio perché non sono toccate dalla derivazione (permettetemi questo termine perché non voglio entrare in troppi dettagli teorici).
Né come zero né omesse, costanti.
Cosa facevi quando dovevi derivare, ad esempio, la funzione $f(x)=kx$ con $k$ costante?
Sapevi che la derivata era $f'(x)=k$ con le usuali regole di derivazione.
Con le derivate parziali non cambia molto (tralasciando, come detto, doverose spiegazioni teoriche). Se, ad esempio, devi derivare
$f(x,y)=sin(x^2+y^2)$
- $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=2x\cdot cos(x^2+y^2)$ è la derivata parziale rispetto ad $x$. Consideri $y$ come una costante e, per il resto, utilizzi le usuali regole di derivazione per funzioni composte derivando l'argomento del seno (rispetto ad $x$!!!) ottenendo $2x$ e poi il seno stesso.
- $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=2y\cdot cos(x^2+y^2)$ è la derivata parziale rispetto ad $y$. Analogo ragionamento, derivi l'argomento del coseno (rispetto a $y$) e il seno stesso.
In generale fare la derivata parziale di una funzione in due (o più) variabili non è differente dal fare la derivata "usuale" di una funzione ad una variabile nella quale compaiono dei parametri.
Un appunto sulla scrittura.
La scrittura corretta è $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ o anche $\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)$ nel senso che i simboli di derivata parziale sono esterni alla funzione e non vanno mescolati all'interno.
Ciao
forse mi sono espresso male...intendevo nel limite del rapporto incrementale quando si incrementa solo una variabile si svolge come ho fatto io...però volevo sapere se al posto della variabile che non incrementiamo viene messo 0 o viene omessa semplicemente...guarda l'esempio e capirai...in quel caso si mette ZERO o niente ? ...grazie 
poi volevo sapere la soluzione di questo integrale curvilineo :
$ int_(0)^(pi/4)(e^(-log(cos(t))))/cos(t) dt $
$ int_(0)^(pi/4)(e^(-log(cos(t))))/cos(t) dt $
Beh, tieni presente che \[\displaystyle e^{-\log\left(a\right)} = e^{\log \left( a^{-1} \right)} = a^{-1}= \frac{1}{a}\]
non mi serve a gran che...anzi complico ancora di più le cose...volevo sapere se la derivata di $ e^(-log(cos(t)))=-e^(-log(cos(t)))/cos(t) $ oppure è $ e^(-log(cos(t)))=-e^(-log(cos(t)))/cos(t) (-sin(t)) $
La seconda che hai detto. Comunque non complichi le cose. Anzi, finisci subito.
mi spieghi come per favore??...non riesco ...grazie
Se procedi come dico io, arrivi a $int_0^(pi/4) 1/(cos^2 x) dx$.
Dato che la derivata di $tan(x)$ è proprio $1/(cos^2 x)$...
Dato che la derivata di $tan(x)$ è proprio $1/(cos^2 x)$...
puoi spiegarmi passaggio per passaggio??...non riesco proprio a capirti...devo trovare la funzione che derivata mi dia la funzione sotto il segno di integrale...
Sei d'accordo sul fatto che arriviamo a $int _0 ^(pi/4) 1/ (cos^2 x) dx $?
si hai ragione grazie 
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