Aiuto equazione immaginaria
Non riesco a risolvere questa equazione:
Risposte
@bettyfromhell: Salve, vedo che sei nuova.
(Ed a giudicare dal nick posti da un posto lontano e caldo...
)
Purtroppo il tuo post non rispetta la netiquette vigente sul forum (cfr. regolamento, sezione 1, e questo avviso); perciò ti chiedo di adeguarti a quanto richiesto.
Per intavolare una discussione seria... Hai provato a risolvere il problema?
Se sì, dove hai trovato difficoltà?
Se no, hai qualche idea per la soluzione? Hai studiato un po' di teoria?
(Ed a giudicare dal nick posti da un posto lontano e caldo...
)Purtroppo il tuo post non rispetta la netiquette vigente sul forum (cfr. regolamento, sezione 1, e questo avviso); perciò ti chiedo di adeguarti a quanto richiesto.
Per intavolare una discussione seria... Hai provato a risolvere il problema?
Se sì, dove hai trovato difficoltà?
Se no, hai qualche idea per la soluzione? Hai studiato un po' di teoria?
Ti chiedo scusa, ahimè non avevo letto il regolamento. Ok comunque certamente ho provato a risolverla, solo che non riesco a trovare la soluzione. L'equazione può essere vista come il prodotto di due termini, quindi basta porre il primo uguale a zero e il secondo uguale a zero. Il primo termine si risolve semplicemente ponendo z=x+iy e il suo coniugato pari a x-iy. Il secondo termine è però più problematico, dato che se tento di risolverlo ponendo z=x+iy ottengo un sistema di due equazioni : facendo un pò di conti si ottiene un'equazione di 4° grado in un'incognita. Il problema è che questo polinomio di quarto grado non si fattorizza, o , per lo meno, io non ci sono riuscito.
Se invece tento di risolvere il secondo termine con la formula di risoluzione per le equazioni di 2°grado, ottengo delle soluzioni immaginarie che non riesco a descrivere, dato che hanno un argomento ( qualcuno lo chiama "fase") un pò balordo.
Se invece tento di risolvere il secondo termine con la formula di risoluzione per le equazioni di 2°grado, ottengo delle soluzioni immaginarie che non riesco a descrivere, dato che hanno un argomento ( qualcuno lo chiama "fase") un pò balordo.
E vabbè... Gli "argomenti balordi" sono del tutto leciti.
Mica può sempre uscire [tex]$1\pm \sqrt{3}\ \imath$[/tex] come soluzione!
Bisognerà fare un po' di conti strani, ma nulla più.
Mica può sempre uscire [tex]$1\pm \sqrt{3}\ \imath$[/tex] come soluzione!
Bisognerà fare un po' di conti strani, ma nulla più.
Si ma per balordi intendo assurdi.. Mi viene che il numero immaginario da descrivere è $ sqrt(5 + 12i) $ .. Il modulo è $ sqrt(13) $ ma l'argomento non so come trovarlo, dato che viene arccoseno di un numero maggiore di 0, quindi non si può fare.. Beh se qualcuno sapesse come risolvere l'equazione gliene sarei grato.
L'hai detto tu stessa: le soluzioni della seconda equazione sono:
[tex]$z_1=\frac{3+\zeta_0}{2}$[/tex] e [tex]$z_2=\frac{3+\zeta_1}{2}$[/tex]
ove [tex]$\zeta_0$[/tex] e [tex]$\zeta_1$[/tex] sono le due determinazioni della radice quadrata del numero [tex]$\Delta =5-12\ \imath$[/tex].
Visto che:
[tex]$|\Delta| =13$[/tex] e [tex]$\vartheta:= \text{Arg} \Delta =\arctan \left( - \frac{12}{5} \right) \approx -0.374\ \pi$[/tex]
hai:
[tex]$\zeta_k = \sqrt{13}\ e^{\frac{\vartheta +2k\pi}{2}\ \imath}$[/tex] per [tex]$k=0,1$[/tex].
Qui avresti concluso; a parte i conti strani, non ci sarebbe nulla di male e l'esercizio sarebbe risolto.
Tuttavia, si può vedere che [tex]$\Delta =(3- 2\ \imath)^2$[/tex], cosicché [tex]$\zeta_k =(-1)^k (3-2\ \imath)$[/tex].
Infatti per le radici quadrate di un numero complesso nella forma [tex]$z=x+y\ \imath$[/tex] con [tex]$x\neq -|z|$[/tex] vale la formula:
[tex]$\sqrt{\frac{|z|+x}{2}} +\frac{y}{\sqrt{2(|z|+x)}}\ \imath$[/tex]
in cui bisogna segliere per le radici (reali!) entrambe le determinazioni positive od entrambe le determinazioni negative.
Nel caso in esame, si ha:
[tex]$\sqrt{\frac{|z|+x}{2}} =\pm 3$[/tex] e [tex]$\frac{y}{\sqrt{2(|z|+x)}}=\frac{-12}{\pm 6} =\mp 2$[/tex],
sicché le due radici sono:
[tex]$\zeta_0=3-2\ \imath$[/tex] e [tex]$\zeta_1= -3+2\ \imath$[/tex].
[tex]$z_1=\frac{3+\zeta_0}{2}$[/tex] e [tex]$z_2=\frac{3+\zeta_1}{2}$[/tex]
ove [tex]$\zeta_0$[/tex] e [tex]$\zeta_1$[/tex] sono le due determinazioni della radice quadrata del numero [tex]$\Delta =5-12\ \imath$[/tex].
Visto che:
[tex]$|\Delta| =13$[/tex] e [tex]$\vartheta:= \text{Arg} \Delta =\arctan \left( - \frac{12}{5} \right) \approx -0.374\ \pi$[/tex]
hai:
[tex]$\zeta_k = \sqrt{13}\ e^{\frac{\vartheta +2k\pi}{2}\ \imath}$[/tex] per [tex]$k=0,1$[/tex].
Qui avresti concluso; a parte i conti strani, non ci sarebbe nulla di male e l'esercizio sarebbe risolto.
Tuttavia, si può vedere che [tex]$\Delta =(3- 2\ \imath)^2$[/tex], cosicché [tex]$\zeta_k =(-1)^k (3-2\ \imath)$[/tex].
Infatti per le radici quadrate di un numero complesso nella forma [tex]$z=x+y\ \imath$[/tex] con [tex]$x\neq -|z|$[/tex] vale la formula:
[tex]$\sqrt{\frac{|z|+x}{2}} +\frac{y}{\sqrt{2(|z|+x)}}\ \imath$[/tex]
in cui bisogna segliere per le radici (reali!) entrambe le determinazioni positive od entrambe le determinazioni negative.
Nel caso in esame, si ha:
[tex]$\sqrt{\frac{|z|+x}{2}} =\pm 3$[/tex] e [tex]$\frac{y}{\sqrt{2(|z|+x)}}=\frac{-12}{\pm 6} =\mp 2$[/tex],
sicché le due radici sono:
[tex]$\zeta_0=3-2\ \imath$[/tex] e [tex]$\zeta_1= -3+2\ \imath$[/tex].
Cavolo ti ringrazio moltissimo per la spiegazione, purtroppo il prof ha dato delle dispense che fanno pena e ha fatto 3 esercizi di numero su questo argomento.. Ma come mai si può calcolare l'argomento facendo l'inversa della tangente? Cavolo dovrò trovarmi delle dispense teoriche alternative.. Comunque grazie mille 
ah ecco, ora è chiaro... Il mio prof ha spiegato solo la forma algebrica e quella trigonometrica, saltando quella esponenziale..
Ma perchè se provo a sostituire le soluzioni che mi hai trovato, all'interno della seconda equazione, essa non risulta verificata?
Avevo saltato un "fratto [tex]$2$[/tex]" nella formula delle soluzioni del post precedente.
Le soluzioni dell'equazione sono:
[tex]$z_k=\frac{3+\zeta_k}{2}$[/tex] per [tex]$k=0,1$[/tex],
ossia [tex]$z_0=3-\imath$[/tex] e [tex]$z_1=\imath$[/tex].
Le soluzioni dell'equazione sono:
[tex]$z_k=\frac{3+\zeta_k}{2}$[/tex] per [tex]$k=0,1$[/tex],
ossia [tex]$z_0=3-\imath$[/tex] e [tex]$z_1=\imath$[/tex].
Ok perfetto, grazie mille
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