Aiuto equazione differenziale lineare del primo ordine

[fabiofrutti94]

Salve, stavo provando a risolvere la seguente equazione differenziale:
\[ y' = \frac{y}{x+2} + \frac{1}{4x} \]
osservando che i coefficienti sono funzioni continue in $]-\infty,-2[\cup]-2,0[\cup]0,+\infty[$, procedo con la normale risoluzione:
1) risolvo l'omogenea associata trovando l'integrale generale: $y=k|x+2|$ con $k \in \mathbb{R}$.
2) adesso cerco un integrale particolare del tipo: $\bar{y}=\gamma(x)|x+2|$, facendo i conti arrivo a:
\[\gamma'(x)=\frac{1}{4x|x+2|}\]
da qui in poi non saprei come continure visto che dovrei risolvere l'integrale $\int \frac{1}{4x|x+2|} dx$, potreste suggerirmi una strada? Anche perchè in alcuni esercizi ho visto che il valore assoluto non viene considerato e vorrei capire il motivo.

[pilloeffe]

Ciao Fabio_94,

Non è che ti stai complicando la vita inutilmente?
L'equazione differenziale del primo ordine proposta è piuttosto standard, esiste anche una formula risolutiva che dovresti aver già visto a lezione o sul tuo libro di testo...
Alla fine dovresti trovare la soluzione seguente:

$y(x) = y_o(x) + y_p(x) = c(x + 2) + 1/8 (x + 2) (ln|x| - ln|x + 2|) $

Comunque l'integrale da risolvere è il seguente:

$\int 1/(4x(x + 2)) \text{d}x = 1/8 (ln|x| - ln|x + 2|) + k $

[fabiofrutti94]

Una primitiva di $\frac{1}{x+2}$ è $log|x+2|$ dunque:
$y_0(x)=e^{log|x+2|+k}=c|x+2|$, dove $c=e^k$. Perché si toglie il valore assoluto?
In ogni caso sarebbe corretto:
\[ \int \frac{1}{4x|x+2|} dx = \begin{cases} \frac{1}{8}(log(|x|)-log(|x+2|))+c \quad x \in ]-2,0[ \cup ]0,\infty[ \\ -\frac{1}{8}(log(|x|)-log(|x+2|))+c \quad x \in ]-\infty,-2[
\end{cases} \]