Aiuto equazione differenziale lineare

[BoG3]

Ciao a tutti, mi sono nuovamente bloccato su un esercizio che mi sembra molto facile ma da qualche parte ho toppato alla grande. Vi sottopongo la questione:

${(y'-y(cosx)/(1+sinx)=cosx), (y(0)=0):}$ dato che è una equazione diff. lineare di primo grado procedo così:

So che la formula risolutiva è: $y=e^(-A(x))[intb(x)*e^A(x)dx +c]$ procedo col ricavarmi $A(x)=int a(x)dx = int (cosx)/(1+sinx)dx = ln|1+sinx|$

Ora vorrei chieder: Posso fare questo ragionamento: dato $ln|1+sinx|$, supposto $sinx> (-1)=>x!=3/4\pi => ln|1+sinx| = ln(1+sinx)$ posso togliere il valore assoluto? Ma è importante toglierlo?

Comunque, proseguendo nello svolgimento ottengo:

$y=e^(-A(x))[intb(x)*e^A(x)dx +c] = $

$e^-(ln(1+sinx))[int cosx *e^(ln(1+sinx))dx +c]=$

$1/(1+sinx)[int cosx *(1+sinx)dx +c]=$

$1/(1+sinx)[int cosx dx +int cosx*sinxdx +c]=$

$1/(1+sinx)[sinx +int cosx*sinxdx +c]=$, ponendo $cosx = t => -sinxdx = dt$ ottengo:

$1/(1+sinx)[sinx -int t*dt +c]=1/(1+sinx)[sinx - 1/2t^2 +c]=1/(1+sinx)[sinx - 1/2cos^2x +c]$ da cui:

$y= sinx/(1+sinx)-(cos^2x)/(2(1+sinx)) + c/(1+sinx)$, inserendo la condizione iniziale ottengo: $c= 1/2$

pero' la soluzione è $y=(1+sinx)ln(1+sinx)$ e non riesco a capire dove ho sbagliato.

mi potete aiutare per favore?

[Gi81]

Il fatto è che $a(x)= - (cosx)/(1+sinx)$, col $-$ davanti

[BoG3]

grazie mille

[BoG3]

Invece, per favore mi potete rispondere a questa domanda?:

"BoG":
Ora vorrei chieder: Posso fare questo ragionamento: dato $ln|1+sinx|$, supposto $sinx> (-1)=>x!=3/4\pi => ln|1+sinx| = ln(1+sinx)$ posso togliere il valore assoluto? Ma è importante toglierlo?

Grazie mille

[Gi81]

Dato che $1+sin(x)>=0$ per ogni $x in RR$, puoi pure levare il valore assoluto.
Infatti, in generale, se $f(x)>=0$ per ogni $x $ reale, si ha $|f(x)|=f(x)$.

[BoG3]

grazie