Aiuto eq. diff. II ordine non omogenee
Parto citando il testo:
Prodotto di un polinomio per funzioni trigonometriche e esponenziali
con $ p m $ polinomio di grado $m$ e $rl$ polinomio di grado $l$
CASO 1: $alpha+ibeta$ non è radice del polinomio caratteristico
In questo caso si cerca una soluzione particolare della forma
con $qm(x)$ e $sm(x)$ polinomi di grado $h=max(m,l)$
Cosa rappresenta $rl(x)$ ? Che vuol dire polinomio di grado $l$ ???
Prendiamo il caso ad es. di un equazione del tipo $y''(x)-4y=xe^x+cos(2x)$.
Al momento di calcolare la soluzione particolare vado a "spezzare" il termine noto, andando a calcolare $f(x)=p(x)e^(alphax)$ per $xe^x$ e, appunto, $f(x)=e^(alphax)(qm(x)cos(betax)+sm(x)sin(betax))$ per $cos(2x)$. Dove sta in questo caso $rl(x)$?
Se $p m(x)$ è sicuramente un polinomio di grado $0$, rappresentato nel caso specifico dalla costante unitaria, $rl(x)$ cos'è?
Prodotto di un polinomio per funzioni trigonometriche e esponenziali
$ f(x)=e^(alphax)(p m(x)cos(beta x)+rlsin(beta x)) $
con $ p m $ polinomio di grado $m$ e $rl$ polinomio di grado $l$
CASO 1: $alpha+ibeta$ non è radice del polinomio caratteristico
In questo caso si cerca una soluzione particolare della forma
$yp(x)=e^(alphax)(qm(x)cos(betax)+sm(x)sin(betax))$
con $qm(x)$ e $sm(x)$ polinomi di grado $h=max(m,l)$
Cosa rappresenta $rl(x)$ ? Che vuol dire polinomio di grado $l$ ???
Prendiamo il caso ad es. di un equazione del tipo $y''(x)-4y=xe^x+cos(2x)$.
Al momento di calcolare la soluzione particolare vado a "spezzare" il termine noto, andando a calcolare $f(x)=p(x)e^(alphax)$ per $xe^x$ e, appunto, $f(x)=e^(alphax)(qm(x)cos(betax)+sm(x)sin(betax))$ per $cos(2x)$. Dove sta in questo caso $rl(x)$?
Se $p m(x)$ è sicuramente un polinomio di grado $0$, rappresentato nel caso specifico dalla costante unitaria, $rl(x)$ cos'è?
Risposte
\(r_l(x)\) è un polinomio di grado 0, rappresentato nel caso specifico dalla costante nulla.
Perché allora, ad es. nel caso $y''(x)+3y=senx$, $rl(x)$ è di grado $1$? Scusa ma non riesco proprio ad inquadrarla...
Riprendendo l'esempio iniziale: $p m(x)$ è un polinomio di grado $0$ perché sarebbe come dire $1\cdotcos(2x)$. Ma $rl(x)$?
Riprendendo l'esempio iniziale: $p m(x)$ è un polinomio di grado $0$ perché sarebbe come dire $1\cdotcos(2x)$. Ma $rl(x)$?
"dino!":
Perché allora, ad es. nel caso $y''(x)+3y=senx$, $rl(x)$ è di grado $1$?
Non è di grado 1, è sempre di grado zero perché \(1 = 1x^0\).
Si scusa ho scritto male, intendevo $y''_(x)+3y(x)=xsinx$.
E' un esempio, questo, che ho ripreso dal testo.
Cito: "Il polinomio caratteristico $P(lambda)=lambda^2-1$ ha solo le radici reali $lambda1,2=+-1$, quindi $i$ non è radice e possiamo creare una soluzione della forma
con $qm$ e $sm$ polinomi di grado $h=max(m,l)$. Ora $m$, che è il grado di $p m(x)$, è uguale a $1$, mentre $l$, che è il polinomio di $rl(x)$, è $0$ (poiché $rl$ è la costante 1). Quindi $h=max(1,0)=1$, cosicché $qm$ e $sm$ sono polinomi generici di grado $1$".
Dunque:
- essendo $p m(x)=x$ con $x$ polinomio di grado $1$, $m=1$.
- essendo $rl(x)=0$, è come se fosse scritto $x\cdot1sinx$, dove quell'unità rappresenta il mio polinomio $rl(x)$.
E' corretto?
E' un esempio, questo, che ho ripreso dal testo.
Cito: "Il polinomio caratteristico $P(lambda)=lambda^2-1$ ha solo le radici reali $lambda1,2=+-1$, quindi $i$ non è radice e possiamo creare una soluzione della forma
$ yp(x)=qmsinx+smcosx $
con $qm$ e $sm$ polinomi di grado $h=max(m,l)$. Ora $m$, che è il grado di $p m(x)$, è uguale a $1$, mentre $l$, che è il polinomio di $rl(x)$, è $0$ (poiché $rl$ è la costante 1). Quindi $h=max(1,0)=1$, cosicché $qm$ e $sm$ sono polinomi generici di grado $1$".
Dunque:
- essendo $p m(x)=x$ con $x$ polinomio di grado $1$, $m=1$.
- essendo $rl(x)=0$, è come se fosse scritto $x\cdot1sinx$, dove quell'unità rappresenta il mio polinomio $rl(x)$.
E' corretto?
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