Aiuto dubbio limite successioni

[HelpThermoo]

Salve a tutti , mi sto spaccando la testa su questo limite da un pò , ma non riesco a trovare un modo che mi permetta chiaramente di risolverlo...
Ho :

$ Lim [ sen(1/n) + 1/(n^3) ]/ [1-cos(1/n) ] $

Ho provato in vari modi , ad esempio ho pensato che all'infinito tale successione si comportasse come :

$ [1/(n^3)] / [1/n] $
ma credo sia una stupidaggine , visto che il limite richiesto dovrebbe essere infinito...ma nada .

Spero abbiate idee , e grazie in anticipo !

[Zero87]

Un procedimento piuttosto "standard" è quello di porre $1/n=x$ (un po' come sui limiti che si pone $\varepsilon=1/n$ tante volte) ed ottenere
$lim_(x->0^+) \frac{sin(x)+x^3}{1-cos(x)}$
con un giro di Hopital si risolve, ma mi spiace che non riesco a trovare un metodo meno pigro e più costruttivo per ora...

[Frink1]

CI arrivi anche con gli sviluppi di McLaurin anche solo al terzo grado...

[HelpThermoo]

vi voglio bene...ma tanto tanto

[HelpThermoo]

ah no aspetta ci ho provato in entrambi i metodi e il limite mi viene 0 , non + infinito...

[Zero87]

"Algo":ah no aspetta ci ho provato in entrambi i metodi e il limite mi viene 0 , non + infinito...

Con l'Hopital, al primo passaggio ottengo
$lim_(x->0^+) \frac{cos(x)+3x^2}{sin(x)}$
in cui il denominatore tende a $0^+$ ma il numeratore a $1$...

Comunque, a conti fatti, diciamo che porre $x=1/n$ è una comodità per gli occhi. Anche con le successioni si dimostrano cose come
$lim_(n->+\infty) sin(1/n)/(1/n)=1$
e altri limiti notevoli che saranno adattati alle funzioni. Però... mi piace semplificare ogni tanto se posso scegliere.

NOTA
Ho rimosso una soluzione aggiuntiva perché era sbagliata dal punto di vista teorico (anche se in pratica riportava uguale).

[Shocker1]

"Algo":ah no aspetta ci ho provato in entrambi i metodi e il limite mi viene 0 , non + infinito...

Potresti usare gli infinitesimi:

$sin(1/n)$ è un infinitesimo di ordine 1 per $n->+oo$
$1/n^3$ è un infinitesimo del terzo ordine per $n->+oo$
$1-cos(1/n)$ è un infinitesimo del secondo ordine per $n->+oo$[nota]infatti per $1 - cos(1/n)$ hai che: $lim_{n->+oo} (1 - cos(1/n))/(1/n^2) = 1/2$ quindi l'ordine è 2
Per $sin(1/n)$ l'ordine è 1 perché:
$lim_{n->+oo} sin(1/n)/(1/n) = 1$[/nota]
Ora, analizzando il limite hai:

$lim_{n->+oo} (sin(1/n) + 1/n^3)/(1-cos(1/n))$

L'ordine di $sin(1/n)$ è minore di quello di $1/n^3$ e quindi possiamo trascurare quest'ultimo termine:

$lim_{n->+oo} (sin(1/n) + 1/n^3)/(1-cos(1/n)) = lim_{n->+oo} sin(1/n)/(1-cos(1/n)) $.

L'ordine di infinitesimo di $1-cos(1/n)$ è maggiore di quello di $sin(1/n)$, di conseguenza il limite tenderà a $+oo$

Spero di non aver sbagliato nulla

Ciao

[Frink1]

Ottimo anche quello di shocker che poi è un'applicazione di limiti notevoli e polinomi di McLaurin