AIUTO! Dubbi su equazioni differenziali
Stavo vedendo questo:
${(y^{\prime}=(1-y)/x),(y(1)=0):}
Non mi spiego perché la soluzione costante (o ambigua) non soddisfa la condizione iniziale data dal sistema.
La sol costante si trova ponendo $y^'=0$ e si ha quindi con $y=1$.
Ma come si fa a dire che questa non soddisfi $y(1)=0$.
E' una domanda stupida ma non ci arrivo. E' un concetto fondamentale che magari dovrei sapere ma non riesco a mettere insieme il puzzle!
Poi un'altra domanda che conferma le mie lacune....
Perché $-log|1-y| = log(1/|1-y|)$? Non riesco a capirlo...
Grazie in anticipo!
${(y^{\prime}=(1-y)/x),(y(1)=0):}
Non mi spiego perché la soluzione costante (o ambigua) non soddisfa la condizione iniziale data dal sistema.
La sol costante si trova ponendo $y^'=0$ e si ha quindi con $y=1$.
Ma come si fa a dire che questa non soddisfi $y(1)=0$.
E' una domanda stupida ma non ci arrivo. E' un concetto fondamentale che magari dovrei sapere ma non riesco a mettere insieme il puzzle!
Poi un'altra domanda che conferma le mie lacune....
Perché $-log|1-y| = log(1/|1-y|)$? Non riesco a capirlo...
Grazie in anticipo!
Risposte
"Giova411":
Perché $-log|1-y| = log(1/|1-y|)$? Non riesco a capirlo...
$-log|1-y|=log|1-y|^(-1)$ (proprietà dei logaritmi). Quindi il risultato è $log (1/|1-y|)$.
"elgiovo":
$-log|1-y|=log|1-y|^(-1)$ (proprietà dei logaritmi). Quindi il risultato è $log (1/|1-y|)$.
Ehm già! Ma non la riuscivo a vedere...
Grazie!
Se $y=1$ $y(1)=1$, e non $0$.
"elgiovo":
Se $y=1$ $y(1)=1$, e non $0$.
Grazie ElGiovo! Perdonami, ma ancora ho dei dubbi...
E' che forse non ho chiarissimo il problema di Chauchy.
Detto "alla carlona": perché la soluzione costante soddisfi la condizione iniziale, devono sempre essere entrambe = 0?
Cioé:
A) soluzione costante:
$y^{\prime}=0$ se $y=1$
B) condizione iniziale (imposta):
$y(1) = 0$ che vuol dire che $x=1$ e $y =0$ quindi $y^{\prime}=1$
Ora che relazione ci deve essere tra la soluzione costante e quella imposta?
Cosa deve succedere perché la soluzione costante soddisfi la condizione iniziale? Che confronto "numerico" devo fare?
Dunque ti rispondo facendo riferimento al tuo problema di Cauchy: se $y'=(1-y)/x$, il secondo membro si annulla esclusivamente se $y=1$. E se $y=1$, $y'=0$, quindi ottieni l'identità $0=0$; la funzione costante $y=1$ è effettivamente soluzione dell'equazione differenziale. Ora però devi vedere se rispetta le condizioni al contorno. $y(1)$ dev'essere $0$, ma $y(1)$ è $1$, quindi la funzione costante $y=1$ è soluzione dell'equazione differenziale ma non del problema di Cauchy. Lo sarebbe stata se la condizione al contorno fosse $y(1)=1$. Evidentemente devi cercare la soluzione in un altro modo.
Forse ci sono...
Però mi mette in crisi questo esempio (dove dice che la sol costante rispetta la cond iniziale):
${(xy^{\prime}=y*logx),(y(1)=2):}
Qui la soluzione dell'eq differenziale è $y=0$. OK
La condiz iniziale (al contorno) mi risulta $y^'=0$
Quindi non dovrebbe scrivere in quel modo.
O no?
In questo caso avrebbe dovuto scrivere: $y(1)=0$ (...è da ieri sera che sono in crisi!
)
Però mi mette in crisi questo esempio (dove dice che la sol costante rispetta la cond iniziale):
${(xy^{\prime}=y*logx),(y(1)=2):}
Qui la soluzione dell'eq differenziale è $y=0$. OK
La condiz iniziale (al contorno) mi risulta $y^'=0$
Quindi non dovrebbe scrivere in quel modo.
O no? In questo caso avrebbe dovuto scrivere: $y(1)=0$ (...è da ieri sera che sono in crisi!
)
L'unica soluzione costante dell'equazione data è $y=0$, che verifica la condizione $y(1)=0$ e non $y(1)=2$.
OK! GRAZIE MILLE!!!!!
E' il testo che è sbagliato!
Ora mi è chiaro.
Grazie ELGIOVO e grazie LUCA!
E' il testo che è sbagliato!
Ora mi è chiaro.
Grazie ELGIOVO e grazie LUCA!
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