Aiuto.. dubbi prima dell'esame!
Salve a tutti...
Ho altre questioni da porvi:
Ma come si risolve un limite con Taylor dove però la $ x-> +oo?
Ad esempio:
$ lim_(x->+oo) ((e^(2x)+3)/(2+e^(2x)))^(x+e^x)
oppure
$ lim_(x->+oo)sin^2x cos x x/(1+4x)
Con quest'ultimo ho provato coi limiti notevoli ma mi resta comunque una forma indeterminata infinito per zero...
Invece col primo ho provato a raccogliere il $ e^(2x) $così che restando al denominatore, tutta la frazione tendesse a 0 però poi sviluppando Taylor venivano calcoli strani e poi resta il problema degli esponenti globali...
Poi un altro problema:
$ lim_(x->0) (x^3 int_0^x sin(t e^t)dt)/(sin^2 x log (1+x^3))
Io ho provato con de l'Hopital, ma mi sono fermata perché, visto che la $ x->0 $ e gli estremi dell'integrale sono proprio 0 e x, calcolando verrebbe $ 3x^2 (sin(x e^x) - sin(0 e^0) ) $ che sono opposti quindi posso eliminarli (o no?) e mi resta la forma indeterminata $ 0/0
Poi non so se va bene ma io al denominatore avevo lavorato coi limiti notevoli, cioè ho moltiplicato e diviso un $ x^2 $ perché mi risultasse il limite notevole col seno e un $ x^3 $ perché venisse quello col logaritmo.
Aiuto...
Ho altre questioni da porvi:
Ma come si risolve un limite con Taylor dove però la $ x-> +oo?
Ad esempio:
$ lim_(x->+oo) ((e^(2x)+3)/(2+e^(2x)))^(x+e^x)
oppure
$ lim_(x->+oo)sin^2x cos x x/(1+4x)
Con quest'ultimo ho provato coi limiti notevoli ma mi resta comunque una forma indeterminata infinito per zero...
Invece col primo ho provato a raccogliere il $ e^(2x) $così che restando al denominatore, tutta la frazione tendesse a 0 però poi sviluppando Taylor venivano calcoli strani e poi resta il problema degli esponenti globali...
Poi un altro problema:
$ lim_(x->0) (x^3 int_0^x sin(t e^t)dt)/(sin^2 x log (1+x^3))
Io ho provato con de l'Hopital, ma mi sono fermata perché, visto che la $ x->0 $ e gli estremi dell'integrale sono proprio 0 e x, calcolando verrebbe $ 3x^2 (sin(x e^x) - sin(0 e^0) ) $ che sono opposti quindi posso eliminarli (o no?) e mi resta la forma indeterminata $ 0/0
Poi non so se va bene ma io al denominatore avevo lavorato coi limiti notevoli, cioè ho moltiplicato e diviso un $ x^2 $ perché mi risultasse il limite notevole col seno e un $ x^3 $ perché venisse quello col logaritmo.
Aiuto...
Risposte
Per risolvere $lim_ (x->+oo) ((e^(2x)+3)/(2+e^(2x)))^(x+e^x)$ non serve Taylor!
Nota che per $x->+oo$ il $3$ e il $2$ sono trascurabili rispetto a $e^(2x)$ quindi l'espressione tra parentesi tende a $1$ e quindi anche l'intero limite vale $1$.
Ciao
Nota che per $x->+oo$ il $3$ e il $2$ sono trascurabili rispetto a $e^(2x)$ quindi l'espressione tra parentesi tende a $1$ e quindi anche l'intero limite vale $1$.
Ciao
Ma $ 1^oo $non è una forma indeterminata?
"Claudia88":
Ma $ 1^oo $non è una forma indeterminata?
Sì, è una forma indeterminata (è quella che "genera" il numero di Nepero con la relazione: $lim_(xto +oo)(1+1/x)^x=e$).
MikeB ha preso un abbaglio.
In effetti è una forma indeterminata!
Cmq in questo caso te avresti una situazione del genere:
$lim_ (x->+oo) f(x)^(g(x))$ dove $f(x)->1$ e $g(x)->+oo$ quindi puoi calcolare il limite in questo modo:
$lim_ (x->+oo) e^(lnf(x)/(1/g(x)))$
quindi adesso ti riduci a calcolare $e^(lim_ (x->+oo) ln((3+e^(2x))/(2+e^(2x)))/(1/(x+e^x)))=1$ in quanto il numeratore va a zero per $x->+oo$ molto più velocemente del denominatore e quindi l'esponente tende a 0.
Ciao
Cmq in questo caso te avresti una situazione del genere:
$lim_ (x->+oo) f(x)^(g(x))$ dove $f(x)->1$ e $g(x)->+oo$ quindi puoi calcolare il limite in questo modo:
$lim_ (x->+oo) e^(lnf(x)/(1/g(x)))$
quindi adesso ti riduci a calcolare $e^(lim_ (x->+oo) ln((3+e^(2x))/(2+e^(2x)))/(1/(x+e^x)))=1$ in quanto il numeratore va a zero per $x->+oo$ molto più velocemente del denominatore e quindi l'esponente tende a 0.
Ciao
"Claudia88":
Salve a tutti...
Ho altre questioni da porvi:
Ma come si risolve un limite con Taylor dove però la $ x-> +oo$?
Ad esempio:
$lim_(x->+oo) ((e^(2x)+3)/(2+e^(2x)))^(x+e^x)$
Per questo non è necessario usare gli sviluppi di Taylor, ma bastano alcuni semplici passaggi algebrici: hai:
$((e^(2x)+3)/(2+e^(2x)))^(x+e^x)=(1+1/(2+e^(2x)))^(x+e^x)=[(1+1/(2+e^(2x)))^(2+e^(2x))]^((x+e^x)/(2+e^(2x)))$
e ricordando che:
$\{(lim_(xto +oo)(1+1/(2+e^(2x)))^(2+e^(2x))=lim_(y to+oo)(1+1/y)^y=e),(lim_(xto +oo)(x+e^x)/(2+e^(2x))=lim_(xto +oo)(e^x*(x*e^(-x)+1))/(e^(2x)*(2e^(-2x)+1))=0):}$
trovi facilmente:
$lim_(x->+oo) ((e^(2x)+3)/(2+e^(2x)))^(x+e^x)=e^0=1$.
@MikeB:
"MikeB":
[...] ti riduci a calcolare $e^(lim_ (x->+oo) ln((3+e^(2x))/(2+e^(2x)))/(1/(x+e^x)))=1$ in quanto il numeratore va a zero per $x->+oo$ molto più velocemente del denominatore e quindi l'esponente tende a 0.
Bello e sintetico, però finchè non mostri che il numeratore è effettivamente d'ordine superiore al denominatore non hai detto nulla di concreto.
Soluzione davvero elegante gugo82 
Complimenti!
Complimenti!
"Claudia88":
$ lim_(x->+oo)sin^2x cos x x/(1+4x) $
Con quest'ultimo ho provato coi limiti notevoli ma mi resta comunque una forma indeterminata infinito per zero...
Sinceramente non capisco come ti venga fuori questa forma indeterminata $oo*0$.
Il limite in questione semplicemente non esiste: infatti, mentre $lim_(x to +oo)x/(4x+1)=1/4$, la funzione $sin^2x*cosx$ è oscillante tra $-1$ ed $1$, quindi l'applicazione $sin^2x*cosx*x/(4x+1)$ non può aver limite in $+oo$.
Forse hai sbagliato a rappresentare la funzione in mathml? O hai omesso qualche parentesi?
Puoi vederlo usando anche la tua scomposizione: $1+1/(2+e^(2x))$.
$1/(2+e^(2x))=o(1/(x+e^x))$ per $x->+oo$
Ciao
$1/(2+e^(2x))=o(1/(x+e^x))$ per $x->+oo$
Ciao
"Claudia88":
Poi un altro problema:
$ lim_(x->0) (x^3 int_0^x sin(t e^t)dt)/(sin^2 x log (1+x^3))$
Io ho provato con de l'Hopital, ma mi sono fermata perché, visto che la $ x->0 $ e gli estremi dell'integrale sono proprio 0 e x, calcolando verrebbe $ 3x^2 (sin(x e^x) - sin(0 e^0) ) $ che sono opposti quindi posso eliminarli (o no?) e mi resta la forma indeterminata $ 0/0
Poi non so se va bene ma io al denominatore avevo lavorato coi limiti notevoli, cioè ho moltiplicato e diviso un $ x^2 $ perché mi risultasse il limite notevole col seno e un $ x^3 $ perché venisse quello col logaritmo.
Aiuto...
Così com'è il limite, l'ultima cosa da fare è applicare il teorema del marchese brutalmente.
Di nuovo ti vengono in aiuto i limiti fondamentali: hai per $x!=0$:
$(x^3 int_0^x sin(t e^t)dt)/(sin^2 x log (1+x^3))=x^3/(log(1+x^3))*(int_0^x sin(t e^t)" d"t)/(sin^2x)=x^3/(log(1+x^3))*x^2/(sin^2x)*(int_0^x sin(t e^t)" d"t)/x^2$;
tra i fattori del prodotto al terzo membro, i primi due sono regolari in $0$ ed hanno ivi limite uguale ad $1$ (ricorda i limiti fondamentali $lim_(y to 0)(sin y)/y=1=lim_(y to 0)(log(1+y))/y$!), quindi basta vedere come si comporta il terzo fattore che è in forma indeterminata $0/0$. Visto che numeratore e denominatore sono funzioni di classe $C^1$, puoi pensare di pplicare il teorema di de l'Hospital: facendolo trovi facilmente:
$lim_(xto 0)(int_0^x sin(t e^t)" d"t)/x^2=lim_(xto 0)(sin(x*e^x))/(2x)=lim_(xto 0)(sin(x*e^x))/(x*e^x)*e^x/2=1/2$
(ricorda che la derivata dell'integrale $\int_0^x f(t)" d"t$ è proprio $f(x)$ per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale!).
Quindi, mettendo insieme i risultati fin qui ottenuti, ti ritrovi:
$ lim_(x->0) (x^3 int_0^x sin(t e^t)dt)/(sin^2 x log (1+x^3))=lim_(xto 0)x^3/(log(1+x^3))*x^2/(sin^2x)*(int_0^x sin(t e^t)" d"t)/x^2=1*1*1/2=1/2$.
@MikeB:
"MikeB":
Puoi vederlo usando anche la tua scomposizione: $1+1/(2+e^(2x))$.
$1/(2+e^2x)=o(1/(x+e^x))$ per $x->+oo$
Ciao
Ok, hai capito quello che intendevo.
Sei sicuro che convenga usare la notazione con l'$o$-piccolo? (Siccome le notazioni di Landau non mi piacciono molto, tendo a non usarle quasi mai e non è che sia molto esperto.)
[/quote]
Sinceramente non capisco come ti venga fuori questa forma indeterminata $oo*0$.
Il limite in questione semplicemente non esiste: infatti, mentre $lim_(x to +oo)x/(4x+1)=1/4$, la funzione $sin^2x*cosx$ è oscillante tra $-1$ ed $1$, quindi l'applicazione $sin^2x*cosx*x/(4x+1)$ non può aver limite in $+oo$.
Forse hai sbagliato a rappresentare la funzione in mathml? O hai omesso qualche parentesi?[/quote]
Perché io avevo fatto (evidentemente sbagliando!)
$ x^2 (sin^2 x)/x^2 x (cos x)/x x/(1+4x)
così i due limiti notevoli tendevano a 0 e restava
$ x^4/(1+4x)
che era ancora infinito...
Sinceramente non capisco come ti venga fuori questa forma indeterminata $oo*0$.
Il limite in questione semplicemente non esiste: infatti, mentre $lim_(x to +oo)x/(4x+1)=1/4$, la funzione $sin^2x*cosx$ è oscillante tra $-1$ ed $1$, quindi l'applicazione $sin^2x*cosx*x/(4x+1)$ non può aver limite in $+oo$.
Forse hai sbagliato a rappresentare la funzione in mathml? O hai omesso qualche parentesi?[/quote]
Perché io avevo fatto (evidentemente sbagliando!)
$ x^2 (sin^2 x)/x^2 x (cos x)/x x/(1+4x)
così i due limiti notevoli tendevano a 0 e restava
$ x^4/(1+4x)
che era ancora infinito...
Ok ho capito tutto... grazie mille ragazzi!
Spero di farcela domani, quanto vorrei che ci foste anche voi!
Ho anche delle perplessità sulle successioni per ricorrenza... insomma ho delle perplessità un po' su tutto...
Ma quindi in generale, con un limite per x->oo io non posso usare Taylor normalmente...? In altre parole, Taylor vale per i limiti che tendono a zero, giusto?
Spero di farcela domani, quanto vorrei che ci foste anche voi!
Ho anche delle perplessità sulle successioni per ricorrenza... insomma ho delle perplessità un po' su tutto...
Ma quindi in generale, con un limite per x->oo io non posso usare Taylor normalmente...? In altre parole, Taylor vale per i limiti che tendono a zero, giusto?
"gugo82":
Ok, hai capito quello che intendevo.
Sei sicuro che convenga usare la notazione con l'$o$-piccolo? (Siccome le notazioni di Landau non mi piacciono molto, tendo a non usarle quasi mai e non è che sia molto esperto.)
In effetti l'algebra degli o-piccoli è potente ma abbastanza complessa!Sono d'accordissimo con te:meno si usa e meglio è!
"Claudia88":
Ok ho capito tutto... grazie mille ragazzi!
Spero di farcela domani, quanto vorrei che ci foste anche voi!
Ho anche delle perplessità sulle successioni per ricorrenza... insomma ho delle perplessità un po' su tutto...
Ma quindi in generale, con un limite per x->oo io non posso usare Taylor normalmente...? In altre parole, Taylor vale per i limiti che tendono a zero, giusto?
Nell'applicazione della fomula di Taylor non è importante il punto di accumulazione in cui vuoi calcolare il limite, bensì il limite a cui tendono gli "argomenti" delle funzioni cui intendi applicare la formula di Taylor-MacLaurin.
Mi spiego meglio con un esempio semplicissimo. Come sai la funzione $(sin(1/x))/x$ è infinitesima all'infinito (poiché è il prodotto della funzione limitata $sin(1/x)$ e della funzione infinitesima $1/x$): supponiamo di voler dimostrare questo fatto con la formula di Taylor e vediamo come si ragiona.
Innanzitutto bisogna ricordare che lo sviluppo di Taylor-MacLaurin del primo ordine della funzione seno, $siny=y-o(y^3)$, vale per $yto 0$; ora, dato che $1/x to 0$ quando $xto +oo$, puoi applicare lo sviluppo di Taylor-MacLaurin alla funzione $sin(1/x)$ e scrivere:
$sin(1/x)=1/x-o(1/x^3) quad$ quando $xto +oo$,
cosicchè hai:
$lim_(xto +oo)(sin(1/x))/x=lim_(xto +oo)(1/x-o(1/x^3))/x=lim_(xto +oo) 1/x^2-1/x*o(1/x^3)=0$
perchè entrambi gli addendi al terzo membro sono infinitesimi in $+oo$.
Spero di aver illustrato bene la situazione, ma mi rendo conto che potresti avere ancora qualche dubbio.
Per l'esame, visto che non sei sicura nell'applicare questa tecnica, puoi sempre provare a risolvere gli esercizi con gli infiniti/infinitesimi equivalenti (a meno che non sia esplicitamente indicato nel testo "Calcolare con gli sviluppi di Taylor..."!): se un risultato è buono, è buono a prescindere dall'eleganza della forma. Ricordo Boltzman quando disse: L'eleganza va lasciata al sarto ed al calzolaio; però, aggiungo io: Cercare una soluzione più bella di un esercizio d'esame una volta tornati a casa non è mai tempo sprecato!
Good Luck!
Ho capito, sei davvero molto chiaro...
Di certo quando tornerò a casa mi rifarò tutti gli esercizi, anche perché dopo lo scritto mi aspetta l'orale e lì non c'è santo che tenga! Speriamo in bene...
Intanto grazie mille davvero per questo SOS last minute... vado a riposarmi dato che, avendo anche la febbre, domani non sarò in ottima forma!
Grazie ancora!
Claudia
Di certo quando tornerò a casa mi rifarò tutti gli esercizi, anche perché dopo lo scritto mi aspetta l'orale e lì non c'è santo che tenga! Speriamo in bene...
Intanto grazie mille davvero per questo SOS last minute... vado a riposarmi dato che, avendo anche la febbre, domani non sarò in ottima forma!
Grazie ancora!
Claudia
"Claudia88":
Ho capito, sei davvero molto chiaro...
Di certo quando tornerò a casa mi rifarò tutti gli esercizi, anche perché dopo lo scritto mi aspetta l'orale e lì non c'è santo che tenga! Speriamo in bene...
Intanto grazie mille davvero per questo SOS last minute... vado a riposarmi dato che, avendo anche la febbre, domani non sarò in ottima forma!
Grazie ancora!
Claudia
Grazie per i complimenti Claudia.
Mi fai arrossire!
Prendi un'aspirina prima di andare in facoltà domani, mi raccomando.
Ho passato analisi!!!
"Claudia88":
Ho passato analisi!!!
Ora c'è bisogno di un brindisi!
"gugo82":
[quote="Claudia88"]Ho passato analisi!!!
Ora c'è bisogno di un brindisi!
[/quote]Eeeeh insomma... prima di brindare devo passare anche geometria, ce l'ho martedì ma sono molto indietro... questa la vedo dura!
"Claudia88":
[quote="gugo82"][quote="Claudia88"]Ho passato analisi!!!
Ora c'è bisogno di un brindisi!
[/quote]Eeeeh insomma... prima di brindare devo passare anche geometria, ce l'ho martedì ma sono molto indietro... questa la vedo dura!
[/quote]in bocca al lupo!!!
dare analisi e geomteria a distanza ravvicinata... ke coraggio..
[/quote]
in bocca al lupo!!!
dare analisi e geomteria a distanza ravvicinata... ke coraggio..[/quote]
Sì in effetti!
Solo che per paura di non passarle al primo colpo ho preferito iscrivermi ai primi appelli, anche perché nel caso passassi anche geometria scritto devo dare gli orali di entrambe e se non passo l'orale mi annullano anche lo scritto!
Per non parlare che ho anche algebra da dover dare prima o poi... e informatica l'ho lasciata indietro perché non ce la potevo fare...
in bocca al lupo!!!
dare analisi e geomteria a distanza ravvicinata... ke coraggio..
[/quote]Sì in effetti!
Solo che per paura di non passarle al primo colpo ho preferito iscrivermi ai primi appelli, anche perché nel caso passassi anche geometria scritto devo dare gli orali di entrambe e se non passo l'orale mi annullano anche lo scritto!
Per non parlare che ho anche algebra da dover dare prima o poi... e informatica l'ho lasciata indietro perché non ce la potevo fare...
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