Aiuto du ques'integrale

[Cristian19891]

Ciao, nella traccia di Analisi 1 era presente questo integrale:
cos 4x sin^5 4x dx
Purtroppo io non sono riuscito a svolgerlo perchè non ho capito il suo svolgimento. Potrebbe trattarsi di un quasi immediato?
Potete aiutarmi a svolgerlo? Grazie infinite

[@melia]

Infatti.
Posto $sin 4x = t$ differenziando ottieni $4cos 4x dx = dt$, perciò
$int cos 4x sin^5 4x dx = 1/4 int t^5 dt$ e questo è immediato

[Cristian19891]

Ciao melia, ti ringrazio per la risposta. Però vorrei capire meglio. Perchè hai posto sin 4x=t?
Io gli integrali quasi immediati, li svolgo, tenendo in considerazione la tabella degli integrali notevoli. Come arrivo a quella soluzione?

[@melia]

Io li chiamo con "sostituzione immediata", nel senso che la sostituzione si vede immediatamente perché sono presenti sia la funzione $sin^5 4x$ sia la derivata della funzione interna $ cos 4x$ a meno di un fattore costante.
Il suggerimento che ti ho dato vale in generale quando devi integrare un prodotto tra seni e coseni, di cui almeno uno con esponente dispari, poni l'altro uguale a t, se entrambi hanno esponente dispari poni uguale a t quello con grado più basso. L'esercizio sarebbe venuto corretto anche ponendo $cos 4x=t$ da cui $4 sin4x dx= dt$ e $sin^5 4x= sin 4x * sin^4 4x=sin 4x *(1-cos^2 4x)^2$, ma, come vedi, ci sarebbero stati più calcoli.

[Cristian19891]

Ho capito. Quindi si applica il metodo della sostituzione?