Aiuto disequazione goniometrica

[1000ragioni]

Ciao ragazzi, sto svolgendo un problema e spero possiate darmi una mano a proseguirlo Ecco il testo: " Trova l'insieme di tutte le soluzioni della disequazione: 4 $(Sen(x))^2 $ + 2 ($sqrt(3) + 1)Sen(x) + sqrt(3)$ < 0 nell'intervallo [0, 2$\pi$)".

Le possibili soluzioni sono: $RR$, $(7/6\pi, 4/3\pi)uu(5/3\pi,11/6\pi), (4/3\pi,11/6\pi), (7/6\pi, 4/3\pi)$

Per iniziare opero il cambio variabile Sen(x) = t, per cui la disequazione diventa:


4 $(t)^2 $ + 2 ($sqrt(3) + 1)t + sqrt(3)$ < 0

Ora quindi posso usare la formula per le equazioni di 2° grado e viene:

$(-2(sqrt(3)+1))+- sqrt((2 (sqrt(3) + 1))^2 - 4(4)(sqrt(3)$)

semplificando ho :
$-2 (sqrt(3)+1)+- sqrt((2 (sqrt(3) + 1))^2 - 16(sqrt(3)$)

Svolgo il quadrato sotto radice e la parentesi a inizio espressione:

$ (-2 sqrt(3))(-2)+- sqrt((12 +4 +8 (sqrt(3)) - 16(sqrt(3)$)

Ora avevo pensato di raccogliere il 4 nella radice quadrata e portarlo fuori come 2, però dopo non saprei se devo dividere l'argomento della radice quadrata per 4 o per 2...non so comunque se è la strada giusta:

$ 2[(- sqrt(3))(-1)+- (sqrt((12 +4 +8 (sqrt(3)) - 16(sqrt(3)))/4))]$

Grazie mille a chi mi darà qualche dritta per finire l'esercizio da solo

[Quinzio]

Guarda qui:
il quadrato di $2(\sqrt3 +1)$ è $12+4+8\sqrt3$

Se sottrai $-16\sqrt3$ ottieni $12+4-8\sqrt3$ che è il quadrato di ?

[1000ragioni]

"Quinzio":Guarda qui:
il quadrato di $2(\sqrt3 +1)$ è $12+4+8\sqrt3$

Se sottrai $-16\sqrt3$ ottieni $12+4-8\sqrt3$ che è il quadrato di ?

Ok se faccio la somma sotto radice ho:

$sqrt(16 - 8 sqrt(3))$

che è la diffferenza di 2 quadrati forse?

[stormy1]

scusa,ma perchè hai sommato?hai visto come ha scritto quinzio ?
$12+4-8sqrt(3)=(2sqrt3-2)^2$

[1000ragioni]

"stormy":scusa,ma perchè hai sommato?hai visto come ha scritto quinzio ?
$12+4-8sqrt(3)=(2sqrt3-2)^2$

Scusate già all'inizio mi sono dimenticato di dividere il tutto per 2A, quindi viene:

$(-2(sqrt(3)+1)+-sqrt((2sqrt(3)-2)^2))/8$

quindi viene:

$((-2sqrt(3)-2)+-(2sqrt(3)-2))/8$

Fin qui è giusto? Pensavo di semplificare l'8 con qualche 2 al numeratore ma sopra non ci sono solo prodotti! Chi mi illumina il sentiero

[1000ragioni]

up

[Gi81]

Non dirmi che sei rimasto un giorno intero pensando alla semplificazione!
La soluzione col meno è $-(4sqrt3)/8= -sqrt3/2$
La soluzione col $+$ è $-4/8= -1/2$.

Siccome la disequazione con $t$ aveva il $<$, la soluzione è $-sqrt3/2

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[1000ragioni]

"Gi8":Non dirmi che sei rimasto un giorno intero pensando alla semplificazione!
La soluzione col meno è $-(4sqrt3)/8= -sqrt3/2$
La soluzione col $+$ è $-4/8= -1/2$.

Siccome la disequazione con $t$ aveva il $<$, la soluzione è $-sqrt3/2

Grazie per il tuo intervento. Ci deve essere stato qualche errore perché senx vale $\-sqrt(3)/2 a 2/3pi$ e vale $\-1/2 a 5/6pi$. Nessuno di questi valori figura nei possibili risultati dell'esercizio!

[Gi81]

Non è vero. $sin(2/3 pi)=sqrt3/2$ e$sin(5/6 pi)=1/2$

[1000ragioni]

"Gi8":Non è vero. $sin(2/3 pi)=sqrt3/2$ e$sin(5/6 pi)=1/2$

Appunto, questi due valori non figurano tra i risultati dell'esercizio. Li ho scritti nel thread iniziale.

Le possibili soluzioni sono: $RR$, $(7/6\pi, 4/3\pi)uu(5/3\pi,11/6\pi), (4/3\pi,11/6\pi), (7/6\pi, 4/3\pi)$

[Gi81]

Ripeto: la soluzione è $-sqrt3/2 < sinx< -1/2$

1) Nell'intervallo $[0,2pi)$ per quali $alpha$ si ha $sin(alpha)= -sqrt3/2$? Per $alpha = 4/3 pi$ e $alpha= 5/3 pi$.
2) Nell'intervallo $[0,2pi)$ per quali $alpha$ si ha $sin(alpha)= -1/2$? Per $alpha = 7/6 pi$ e $alpha= 11/6 pi$.

[1000ragioni]

"Gi8":Ripeto: la soluzione è $-sqrt3/2 < sinx< -1/2$

1) Nell'intervallo $[0,2pi)$ per quali $alpha$ si ha $sin(alpha)= -sqrt3/2$? Per $alpha = 4/3 pi$ e $alpha= 5/3 pi$.
2) Nell'intervallo $[0,2pi)$ per quali $alpha$ si ha $sin(alpha)= -1/2$? Per $alpha = 7/6 pi$ e $alpha= 11/6 pi$.

Grazie mille, ci sono finalmente arrivato