Aiuto disequazione esponenziale!!!
Salve,
mi servirebbe un aiuto nella risoluzione della seguente disequazione:
(e^x)-(xe^x)+1>0
mi servirebbe un aiuto nella risoluzione della seguente disequazione:
(e^x)-(xe^x)+1>0
Risposte
usa la scrittura del forum che si capisce meglio....è questa qui la disequazione:
$e^x -xe^x +1 >0$
Incomincia a postare un tuo metodo di risoluzione e se è sbagliato qualcuno te lo corregge....
$e^x -xe^x +1 >0$
Incomincia a postare un tuo metodo di risoluzione e se è sbagliato qualcuno te lo corregge....
Si esatto! Chiedo scusa ma ancora mi ci devo abituare!
EDIT: Incomincia a postare un tuo metodo di risoluzione e se è sbagliato qualcuno te lo corregge....
Allora io avevo pensato di fare la seguente, però poi mi sono bloccato:
$e^x*(1-x)>(-1)$;
$e^x>(-1)/(1-x)$;
$e^x>1/(x-1)$;
$x>log(1/(x-1))$;
$x>log(1)-log(x-1))$;
$x>(-log(x-1))$;
Dopo non so più che fare...
$e^x*(1-x)>(-1)$;
$e^x>(-1)/(1-x)$;
$e^x>1/(x-1)$;
$x>log(1/(x-1))$;
$x>log(1)-log(x-1))$;
$x>(-log(x-1))$;
Dopo non so più che fare...
studia le due funzioni separate..anche se secondo me vai meglio a studiare la funzione $e^x$ e la funzione $1/(x-1)$ e confrontarle,senza passare ai logaritmi.
Oh cielo...sono un idiota!!! Hai ragione ti ringrazio!!! Non mi spiego come abbia potuto sbagliare... sarà la stanchezza!!! Comunque problema risolto ti ringrazio!!!
Attenzione Gios , quando dividi i due membri della disequazione per $ (x-1) $ , supponi questo fattore $> 0 $il che è vero solo se $ x> 1 $.
Quindi $e^x(1-x) > -1 $ e poi $e^x( x-1) < 1 $ .
Adesso bisogna considerare i 2 casi
** $x > 1 $ e quindi la disequazione diventa $ e^x <1/(x-1) $ che è da risolvere graficamente: le due funzioni da graficare sono molto semplici , una esponenziale e l'altra omografica.
** $x<1 $ e quindi la disequazione è $ e^x > 1/(x-1 )$, pure da risolvere graficamente e poi mettere devi mettere insieme
i due "pezzi " di soluzione.
Quindi $e^x(1-x) > -1 $ e poi $e^x( x-1) < 1 $ .
Adesso bisogna considerare i 2 casi
** $x > 1 $ e quindi la disequazione diventa $ e^x <1/(x-1) $ che è da risolvere graficamente: le due funzioni da graficare sono molto semplici , una esponenziale e l'altra omografica.
** $x<1 $ e quindi la disequazione è $ e^x > 1/(x-1 )$, pure da risolvere graficamente e poi mettere devi mettere insieme
i due "pezzi " di soluzione.
Camillo scusami ma potresti spiegarmi meglio ciò che dici, non l'ho capito bene, vorrei capirlo perchè potrebbe tornarmi utile!
La disequazione $ e^x-xe^x > -1 $ non può essere risolta per via analitica; va quidni ricercata la soluzione grafica.
Per fare questo è opportuno elaborare la disequazione in modo da ricondursi a una forma del tipo :
$f(x) > g(x) $ con $f(x),g(x) $ funzioni semplici e facili da graficare.
Raccolgo quindi $e^x $ al primo membro : $ e^x(1-x)> -1 $.
Per comodità moltiplico i 2 membri per $ -1 $ ; naturalemnete dovrò cambiare il verso della disequazione ( infatti $ 5> 3 $, ma $ -5 < -3 $ ).
Ottengo così . $ e^x(x-1) < 1 $.
Adesso voglio ottenere due funzioni semplici sia a primo che a secondo membro ; devo quindi dividere per $(x-1)$
in modo da avere una funzione esponenziale che si confronta con una funzione omografica ( iperbole traslata).
Questo passaggio non può essere fatto " impunemente" : se si trattasse di dividere ( o moltiplicare ) per un numero positivo allora il verso della disequazione non cambierebbe ; se si trattasse di moltiplicare ( o dividere) per un numero negativo si dovrebbe cambiare il verso della disequazione.
In questo caso si divide per una espressione $(x-1)$ che assume valori positivi per $ x> 1 $ , ma negativi per $ x< 1 $.
Bisogna quindi dividere il procedimento in 2 casi :
a) $x > 1 $, la disequazione diventa $ e^x <1/(x-1)$ : tracciando il grafico delle 2 funzioni bisogna vedere dove la $f(x) $è minore della $g(x)$ ; beninteso che si deve osservare cosa avviene solo per $x>1$ .
L'eventuale intervallo(i) in cui $ f(x) < g(x) $ fornirà una parte della soluzione.
b) $x < 1 $ , la disequazione diventa $ e^x > 1/(x-1) $ , si fa il grafico etc etc si guarda solo cosa succede in $ x <1 $ ; l'eventuale intervallo(i) in cui $f(x) > g(x) $ fornirà un'altra parte della soluzione .
L'unione dei 2 o più intervalli darà la soluzione cercata delkla disequazione iniziale.
Ti consiglio di tracciare i grafici e vedrai che :
a) $f
b) $f>g $ per $-oo
La soluzione della disequazione iniziale è quindi :$ (-oo,1)U(1, alpha) $ che possiamo scrivere
$ x < alpha $ in quanto il punto $x=1 $ fa parte del dominio ( =$RR$) della disequazione iniziale.
Per fare questo è opportuno elaborare la disequazione in modo da ricondursi a una forma del tipo :
$f(x) > g(x) $ con $f(x),g(x) $ funzioni semplici e facili da graficare.
Raccolgo quindi $e^x $ al primo membro : $ e^x(1-x)> -1 $.
Per comodità moltiplico i 2 membri per $ -1 $ ; naturalemnete dovrò cambiare il verso della disequazione ( infatti $ 5> 3 $, ma $ -5 < -3 $ ).
Ottengo così . $ e^x(x-1) < 1 $.
Adesso voglio ottenere due funzioni semplici sia a primo che a secondo membro ; devo quindi dividere per $(x-1)$
in modo da avere una funzione esponenziale che si confronta con una funzione omografica ( iperbole traslata).
Questo passaggio non può essere fatto " impunemente" : se si trattasse di dividere ( o moltiplicare ) per un numero positivo allora il verso della disequazione non cambierebbe ; se si trattasse di moltiplicare ( o dividere) per un numero negativo si dovrebbe cambiare il verso della disequazione.
In questo caso si divide per una espressione $(x-1)$ che assume valori positivi per $ x> 1 $ , ma negativi per $ x< 1 $.
Bisogna quindi dividere il procedimento in 2 casi :
a) $x > 1 $, la disequazione diventa $ e^x <1/(x-1)$ : tracciando il grafico delle 2 funzioni bisogna vedere dove la $f(x) $è minore della $g(x)$ ; beninteso che si deve osservare cosa avviene solo per $x>1$ .
L'eventuale intervallo(i) in cui $ f(x) < g(x) $ fornirà una parte della soluzione.
b) $x < 1 $ , la disequazione diventa $ e^x > 1/(x-1) $ , si fa il grafico etc etc si guarda solo cosa succede in $ x <1 $ ; l'eventuale intervallo(i) in cui $f(x) > g(x) $ fornirà un'altra parte della soluzione .
L'unione dei 2 o più intervalli darà la soluzione cercata delkla disequazione iniziale.
Ti consiglio di tracciare i grafici e vedrai che :
a) $f
b) $f>g $ per $-oo
La soluzione della disequazione iniziale è quindi :$ (-oo,1)U(1, alpha) $ che possiamo scrivere
$ x < alpha $ in quanto il punto $x=1 $ fa parte del dominio ( =$RR$) della disequazione iniziale.
Grazie, sei stato molto chiaro e gentile! Adesso ho le idee più chiare!!!
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