Aiuto disequazione

[chiarnik]

$arctg(sqrt(|x-1|))+x/4-pi/4>0$

Ragazzi non riesco a risolvere questa disequazione...mi potete dare una mano per piacere? La imposto così ma poi nn riesco a d andare avanti...

$sqrt|x-1|>tg(pi/4-x/4)$

poi elevo tutto al quadrato ma come faccio a risolvere la tg al quadrato

[robbstark1]

Questa disequazione non può essere risolta analiticamente, poichè presenta l'incognita sia in argomento di una funzione trigonometrica che fuori.
Puoi procedere graficamente per trovare se e quante soluzioni ha l'equazione, e più o meno dove si trovano. Per fare questo lascerei stare l'arcotangente per come è.
Poi, se ci sono, si possono calcolare numericamente le soluzioni dell'equazione con precisione crescente, usando il metodo di Newton-Raphson.

[chiarnik]

Grazie milleee =)

[gugo82]

Considera la funzione:
\[
\phi (x) := \arctan \sqrt{|x-1|} + \frac{x}{4}-\frac{\pi}{4} = \begin{cases} \arctan \sqrt{x-1} + \frac{x}{4}-\frac{\pi}{4} &\text{, se } x\geq 1 \\ \arctan \sqrt{1-x} + \frac{x}{4}-\frac{\pi}{4} &\text{, se } x\leq 1\end{cases}
\]
hai:
\[
\begin{split}
\phi^\prime (x) &= \begin{cases} \frac{1}{2\sqrt{x-1}\ (1+(x-1))} + \frac{1}{4} &\text{, se } x> 1 \\ -\frac{1}{2\sqrt{1-x}\ (1+(1-x))} + \frac{1}{4} &\text{, se } x< 1\end{cases} \\
&= \begin{cases} \frac{1}{2x\ \sqrt{x-1}} + \frac{1}{4} &\text{, se } x> 1 \\ -\frac{1}{2(2-x)\ \sqrt{1-x}} + \frac{1}{4} &\text{, se } x< 1\end{cases}
\end{split}
\]
quindi è \(\phi^\prime (x)\geq 0\) se e solo se \(x\) soddisfa uno dei seguenti sistemi:
\[
\begin{cases} \frac{1}{2x\ \sqrt{x-1}} + \frac{1}{4} \geq 0 \\ x> 1\end{cases}\qquad \text{oppure} \qquad \begin{cases} -\frac{1}{2(2-x)\ \sqrt{1-x}} + \frac{1}{4} \geq 0 \\ x< 1\end{cases}
\]
che sono soddisfatti per \(x\in ]-\infty ,0]\cup ]1,+\infty[\); pertanto la \(\phi\) è crescente in \(]-\infty ,0]\cup [1,+\infty[\) e decrescente in \([0,1]\), prende massimo relativo in \(0\), tale massimo essendo \(\phi (0)= 0\), e minimo relativo in \(1\), tale minimo essendo \(\phi (1)=\frac{1-\pi}{4}<0\); inoltre, la \(\phi\) cresce linearmente all'infinito, avendo asintoto obliquo la retta d'equazione \(y=\frac{1}{4} x + \frac{\pi}{4}\).
Conseguentemente, la disequazione:
\[
\phi (x)\geq 0
\]
è soddisfatta certamente in \(0\) ed in un intervallo del tipo \([x_0,+\infty[\), ove \(x_0\) è un numero maggiore di \(1\) (dovrebbe essere approssimativamente \(x_0\approx 1.256\)).