Aiuto dimostrazione Analisi 1

[panciu]

Sia f:[0,1] $ rarr $ R una funziona continua t.c. $ int_(0)^(1) |f(x)| $ = 0.
Dimostrare che f è identicamente nulla.

Avrei bisogno di aiuto per questa dimostrazione.
Mi è venuto in mente che l'integrale di una funzione a termini positivi è sempre $ \geq $ 0 ma non mi sembra molto utile.

[Seneca1]

Se $f$ non fosse identicamente nulla, esisterebbe $xi$ tale che $|f(xi)| > 0$. Per il teorema della permanenza del segno per funzioni continue esiste tutto un intorno $( xi - delta , xi + delta) subseteq [0,1]$ in cui $|f(x)| > 0$.

$0 = int_0^1 |f(x) | dx =$

$= int_0^(xi - delta) |f(x) | dx + int_(xi - delta)^(xi + delta) |f(x) | dx + int_(xi + delta)^1 |f(x) | dx >=$

$>= int_(xi - delta)^(xi + delta) |f(x) | dx > 0$

donde l'assurdo.

[panciu]

"Seneca":
$= int_0^(xi - delta) |f(x) | dx + int_(xi - delta)^(xi + delta) |f(x) | dx + int_(xi + delta)^1 |f(x) | dx >=$
$>= int_(xi - delta)^(xi + delta) |f(x) | dx > 0$

Mmm... questa parte di espressione su che base viene motivata?

[gugo82]

Proprietà degli integrali: additività, monotonicità.

[Seneca1]

EDIT: Scusa Gugo, non avevo visto la tua risposta.