Aiuto Curve
Ciao a tutti questo è il mio primo post e mi scuso anticipatamente per eventuali stupidaggini che potrei dire 
.
Ho un dubbio sulle curve (ho gia provato a chiedere a mio fratello ma dice che non ha tempo per me perchè sono una causa persa) e vorrei venirne a capo.
Il dubbio è questo: una curva è una funzione vettoriale (supponiamo R^2) di variabile reale, mentre il sostegno della curva è l'immagine del dominio della funzione. Quello che mi chiedo è, che date queste definizioni allora il sostegno della curva è uguale al grafico della funzione tra le componenti dell'immagine giusto?
La seconda cosa che vorrei chiedere è che siccome le parole sono importanti ma nessuno a scuola le spiega, vorrei chiedere perchè la variabile della curva viene chiamata parametro; un parametro non è una costante generica? E poi cosa vuol dire parametrizzare?
Grazie, e ancora scusa se sono domande sciocche.
.Ho un dubbio sulle curve (ho gia provato a chiedere a mio fratello ma dice che non ha tempo per me perchè sono una causa persa) e vorrei venirne a capo.
Il dubbio è questo: una curva è una funzione vettoriale (supponiamo R^2) di variabile reale, mentre il sostegno della curva è l'immagine del dominio della funzione. Quello che mi chiedo è, che date queste definizioni allora il sostegno della curva è uguale al grafico della funzione tra le componenti dell'immagine giusto?
La seconda cosa che vorrei chiedere è che siccome le parole sono importanti ma nessuno a scuola le spiega, vorrei chiedere perchè la variabile della curva viene chiamata parametro; un parametro non è una costante generica? E poi cosa vuol dire parametrizzare?
Grazie, e ancora scusa se sono domande sciocche.
Risposte
Per ora rispondo all'unica cosa in cui non credo di dire cose insensate (per le altre faccio qualche minuto mente locale e magari anche wiki o simili). 
La questione del parametro è una cosa che mi fa venire grattacapi.
La variabile, se non ricordo male, è quell'oggetto matematico che modifica il valore di una funzione al variare dei suoi valori mentre il parametro è una costante che può assumere determinati valori in un certo ambito di definizione.
La differenza, secondo me, è più filosofica che altro ma certe cose non te le spiega nessuno né alle superiori (tranne rari casi) né all'università.
Parametrizzare vuol dire proprio rappresentare la curva servendoci del parametro.
Le domande non sono mai sciocche ed è meglio farle piuttosto che portarsi dietro i dubbi.
Benvenuto/a al forum e buona permanenza.
La questione del parametro è una cosa che mi fa venire grattacapi.
La variabile, se non ricordo male, è quell'oggetto matematico che modifica il valore di una funzione al variare dei suoi valori mentre il parametro è una costante che può assumere determinati valori in un certo ambito di definizione.
La differenza, secondo me, è più filosofica che altro ma certe cose non te le spiega nessuno né alle superiori (tranne rari casi) né all'università.
"Karima":
E poi cosa vuol dire parametrizzare?
Grazie, e ancora scusa se sono domande sciocche.
Parametrizzare vuol dire proprio rappresentare la curva servendoci del parametro.
Le domande non sono mai sciocche ed è meglio farle piuttosto che portarsi dietro i dubbi.
Benvenuto/a al forum e buona permanenza.
Grazie zero87 per la risposta e grazie per il benvenuto, sono sicura che lo sarà di certo. Comunque il mio dubbio rimane, ad esempio y=3+kx so chè è una retta e il coefficiente angolare è il parametro; in una generica curva ad esempio (t^2,1+t) secondo il mio modo di ragionare t è una variabile. Sia chiaro non voglio dare la colpa ai professori, però a me nessuno mi ha mai definito la coppia variabile-parametro; e questa lacuna mi sta dando grattacapi da un punto di vista concettuale. Comunque grazie ancora per la risposta. Speriamo qualcuno ci aiuti 
"Karima":
Il dubbio è questo: una curva è una funzione vettoriale (supponiamo R^2) di variabile reale, mentre il sostegno della curva è l'immagine del dominio della funzione. Quello che mi chiedo è, che date queste definizioni allora il sostegno della curva è uguale al grafico della funzione tra le componenti dell'immagine giusto?
La risposta è no. Anche perché il grafico della funzione è un sottoinsieme di \(\displaystyle \mathbf{R}^3 = \mathbf{R}\times \mathbf{R}^2 \) mentre il sostegno della curva è un sottoinsieme di \(\displaystyle \mathbf{R}^2 \). Infatti il grafico della curva è per definizione l’insieme delle coppie \(\displaystyle (t, f(t)) \). Per certi versi puoi vedere il sostegno come la proiezione sulla seconda coordinata dal grafico. D’altra parte il sostegno è indipendente dalla parametrizzazione scelta, cioè esistono più curve con lo stesso sostegno ma il grafico è unico.
Il fatto è che, per ora, tu vedi le curve in questo modo ma più avanti, quando vedrai varietà di dimensione 1 avrai il sostegno e tante parametrizzazioni (locali) definite sopra di essa. Quindi per certi versi il sostegno è spesso ciò che ti interessa, mentre la parametrizzazione è un modo in cui tu ci lavori sopra.
"Karima":
Grazie zero87 per la risposta e grazie per il benvenuto, sono sicura che lo sarà di certo. Comunque il mio dubbio rimane, ad esempio y=3+kx so chè è una retta e il coefficiente angolare è il parametro; in una generica curva ad esempio (t^2,1+t) secondo il mio modo di ragionare t è una variabile. Sia chiaro non voglio dare la colpa ai professori, però a me nessuno mi ha mai definito la coppia variabile-parametro; e questa lacuna mi sta dando grattacapi da un punto di vista concettuale. Comunque grazie ancora per la risposta. Speriamo qualcuno ci aiuti
Secondo me è meglio che non ti poni troppi problemi di questo tipo. Detto questo vorrei invitarti a ragionare sul fatto che puoi vedere la funzione \(\displaystyle y=3+kx \) come l’immagine di \(\displaystyle k \) tramite una funzione (continua) da \(\displaystyle \mathbf{R} \) nello spazio delle rette di \(\displaystyle \mathbf{R}^2 \).
Perciò indicativamente direi che la differenza tra parametro e variabile sia principalmente nel fatto se abbia maggiore importanza il dominio o l’immagine.
Ciao vict85 grazie mille per le tue risposte. Per il tuo primo post volevo dire questo (forse l'ho scritto male) che il sostegno della curva coincide non con il grafico della curva ma con il grafico delle funzione tra le componenti, ovvero ho una curva V(t)=(x(t),y(t)) dalla quale posso definire una funzione tra le componenti y(x) il cui grafico appartiene a R^2, e questo grafico di f coincide con l'immagine di V cioè il sostegno.
Sempre sul primo post, quello che intendi dire verso la fine è che al contrario di quello che si fa in analisi I cioè studiare il grafico di una funzione, in questo caso a noi interessa studiare quell'insieme che noi chiamiamo sostegno e che è l'immagine di (forse) infinite funzioni? Cioè a noi non interessa la funzione e quindi a rigor di logica prediamo quella che ci conviene di piu.
Il secondo post non l'ho capito bene. Scusa
Sempre sul primo post, quello che intendi dire verso la fine è che al contrario di quello che si fa in analisi I cioè studiare il grafico di una funzione, in questo caso a noi interessa studiare quell'insieme che noi chiamiamo sostegno e che è l'immagine di (forse) infinite funzioni? Cioè a noi non interessa la funzione e quindi a rigor di logica prediamo quella che ci conviene di piu.
Il secondo post non l'ho capito bene. Scusa
Help
Ascolta karima, non sono vict85 ma in sua mancanza, posso darti una mano a capire ciò che ha scritto: mi resta difficile perché non mi sono mai fatto domande filosofiche, ma c'è sempre una prima volta.
Considera la funzione $y=3+kx$, sai - o per lo meno dovresti saperlo dato che posti nella sezione di analisi
- che al variare di $k$ parametro reale, essa rappresenta un fascio di rette.
Lo puoi vedere come
$y(k):\RR -> RR^2$
tale che $k \mapsto 3+kx$
che vuol dire - a parole (matematiche) - proprio che al variare del parametro $k$ ottieni una differente retta e questo è il senso delle parole di vict85 "come l'immagine di $k$ tramite una funzione (continua) da $\RR$ nello spazio delle rette di $\RR^2$.
Alla fine vict85 conclude con
Cioè che il parametro dà informazioni o dà importanza sull'immagine mentre la variabile sul dominio: più che con la retta una cosa del genere la vedresti con
$y=1/x +k$
che ad ogni valore del parametro $k$ corrisponde un'iperbole, mentre lo studio della variabile dice che non è definita per $x=0$ (quindi dà informazioni sul dominio).
Concludo dicendoti solo di non uppare un post prima di 24 ore per questioni di netiquette: inoltre ho scoperto da poco che esiste anche il tasto di "bump argomento" che compare proprio dopo 24 ore dall'ultima risposta e che quindi ha la funzione di un up senza scrivere un messaggio.
"vict85":
Detto questo vorrei invitarti a ragionare sul fatto che puoi vedere la funzione \(\displaystyle y=3+kx \) come l’immagine di \(\displaystyle k \) tramite una funzione (continua) da \(\displaystyle \mathbf{R} \) nello spazio delle rette di \(\displaystyle \mathbf{R}^2 \).
Considera la funzione $y=3+kx$, sai - o per lo meno dovresti saperlo dato che posti nella sezione di analisi
- che al variare di $k$ parametro reale, essa rappresenta un fascio di rette.Lo puoi vedere come
$y(k):\RR -> RR^2$
tale che $k \mapsto 3+kx$
che vuol dire - a parole (matematiche) - proprio che al variare del parametro $k$ ottieni una differente retta e questo è il senso delle parole di vict85 "come l'immagine di $k$ tramite una funzione (continua) da $\RR$ nello spazio delle rette di $\RR^2$.
Alla fine vict85 conclude con
"vict85":
Perciò indicativamente direi che la differenza tra parametro e variabile sia principalmente nel fatto se abbia maggiore importanza il dominio o l’immagine.
Cioè che il parametro dà informazioni o dà importanza sull'immagine mentre la variabile sul dominio: più che con la retta una cosa del genere la vedresti con
$y=1/x +k$
che ad ogni valore del parametro $k$ corrisponde un'iperbole, mentre lo studio della variabile dice che non è definita per $x=0$ (quindi dà informazioni sul dominio).
Concludo dicendoti solo di non uppare un post prima di 24 ore per questioni di netiquette: inoltre ho scoperto da poco che esiste anche il tasto di "bump argomento" che compare proprio dopo 24 ore dall'ultima risposta e che quindi ha la funzione di un up senza scrivere un messaggio.
Ciaoo zero87 grazie ancora per le tue risposte! Ora che mi hai esplicitato la parte sul dominio o compreso quello che intendeva vict85.
Scusate, ho sbagliato al posto di aspettare 24 ore o solo aspettato il cambio di giorno mi sono confusa.
Comunque rimango ancora dell'idea che i libri nelle parti scritte in lingua italiana siano i primi a portar confusione..Ad esempio in un libro di geometria prima si parlava di curva intesa come sostegno e poi come funzione.
Comunque grazie ancora a tutti e due per le delucidazioni! P.s. bello cosmo lo guardo anche io!
Scusate, ho sbagliato al posto di aspettare 24 ore o solo aspettato il cambio di giorno mi sono confusa.
Comunque rimango ancora dell'idea che i libri nelle parti scritte in lingua italiana siano i primi a portar confusione..Ad esempio in un libro di geometria prima si parlava di curva intesa come sostegno e poi come funzione.
Comunque grazie ancora a tutti e due per le delucidazioni! P.s. bello cosmo lo guardo anche io!
Comunque in genere si parla di parametro quando tu hai uno spazio e un qualche insieme. Pensiamo per esempio ad una retta \(\displaystyle r\colon P + t\mathbf{v} \) dove \(\displaystyle P \) è un punto, \(\displaystyle \mathbf{v} \) è un vettore e \(\displaystyle t \) è il cosiddetto parametro. Il fatto di aver parametrizzato \(\displaystyle r \) significa che ai nostri occhi \(\displaystyle r \) è sostanzialmente \(\displaystyle \mathbb{R} \), indipendentemente da quale siano \(\displaystyle P \) e \(\displaystyle \mathbf{v} \) o addirittura se la curva sia o meno immersa in \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \).
Seppur il punto di ‘coordinata’ \(\displaystyle t=3 \) è un punto di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) a noi basta un singolo valore per determinarlo. Quando succede una cosa come questa in genere si parla di parametrizzazione. In corsi più avanzati penso avrai delle definizioni più serie ma ora penso ti confonderebbero.
P.S.: Mi sono reso conto di aver detto che la funzione nello spazio delle rette era continua, d'altra parte non ho detto né che spazio considero né la sua topologia. Penso quindi sia meglio dimenticarci di questa affermazione.
Seppur il punto di ‘coordinata’ \(\displaystyle t=3 \) è un punto di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) a noi basta un singolo valore per determinarlo. Quando succede una cosa come questa in genere si parla di parametrizzazione. In corsi più avanzati penso avrai delle definizioni più serie ma ora penso ti confonderebbero.
P.S.: Mi sono reso conto di aver detto che la funzione nello spazio delle rette era continua, d'altra parte non ho detto né che spazio considero né la sua topologia. Penso quindi sia meglio dimenticarci di questa affermazione.
Ciaoo vict85 credo di aver raggiunto l'illuminazione! Ti ringrazio veramente tanto!!! Un saluto a te e a "cosmo", senza di voi (pur con 4 diversi libri e internet) non ci sarei arrivata! Ciao e grazie ancora, a presto!
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