Aiuto correzione esercizi integrali tripli

[HelpThermoo]

Dunque ho provato a svolgere un es del tipo :

Sia K la regione di spazio delimitata dalla superficie cilindrica di raggio 1 coassiale con l'asse z ,dal piano xy ;e dal piano
$ 3=z+x+y/2 $ (1)

si calcoli :

$ int int int_(K)(1-y)zx dx dy dz $

Ok allora K è una parte di cilindro coassiale con z e di raggio 1 , compresa fra il piano xy e il piano di cui ho l'equazione .
Quindi ho provato a usare le coordinate cilindriche , pensando che l'intersezione del piano (1) con l'asse z potesse essere l'estremo entro cui varia la quota .
Quindi :

$ x=rcostheta ;y=rsentheta;z=z $

$ thetain[0,2pi];r<=1;0<=z<=3 $

sono giusti gli intervalli?

Poi svolgendo i calcoli ho :

$ int int int_(K)f(x,y,z) dx dy dz = int int int_(Q)(1-rhosentheta)zrho^2costhetadrho d thetadz $

dove lo jacobiano è uguale a $ rho $

$ int int int_(Q)(1-rhosentheta)zrho^2costhetadrho d thetadz=int_(0)^(1)rho^2drhoint_(0)^(2pi)costheta(1-rhosentheta)int_(0)^(3)zdz = int_(0)^(1)rho^2drhoint_(0)^(2pi)costheta(1-rhosentheta)[z^2/2]_(0)^(3)=int_(0)^(1)9/2rho^2drhoint_(0)^(2pi)costheta(1-rhosentheta) $

Ora il secondo integrale ha primitiva :

$ [sentheta+(rhocos^2theta)/2] $

che ho calcolato considerando rho come una costante ...
peròòò
arrivato qua :

$ int_(0)^(1)9/2rho^2drho[sentheta+(rhocos^2theta)/2]_(0)^(2pi) $

vedo sfumare le mie speranze.. perché mi si annulla tutto...tra 0 e due pigreco la primitiva viene 0.

forse ho sbagliato proprio all'inzio nel cambio di coordinate...non so.
potete dargli una guardata?

[ciampax]

Dunque, il passaggio a coordinate cilindriche è una cosa intelligente: se $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta,\ z0z$ allora le equazioni che definiscono il cilindro e i due piani divengono
$$\rho=1,\ z=0,\ 6=2z+2\rho\cos\theta+\rho\sin\theta$$
Ragioniamo ora su come devono variare queste coordinate. Per una questione di simmetria, è ovvio che $\theta\in[0,2\pi]$: pertanto quello che dobbiamo fare è limitarci a considerare come è fatto il dominio, nel piano $\rho O z$ per ogni $\theta$ fissato. Possiamo riscrivere le equazioni così
$$\rho=1,\ z=0,\ z=3-A(\theta)\rho$$
essendo $A(\theta)=\cos\theta+1/2\sin\theta\ne 0$ un "parametro" dipendente da $\theta$ che non si annulla mai. Osserva che nel piano definito, queste tre sono equazioni di rette: facendo un rapido disegno ti accorgerai che in generale il dominio da esse limitato è un trapezio rettangolo, con le basi parallele all'asse delle $y$ e, indicando con $P_\theta(1,3-A(\theta))$ le coordinate del punto di intersezione tra $\rho=1$ e $z=3-A(\theta)\rho$, si ottengono le seguenti limitazioni
$$\theta\in[0,2\pi],\quad 0\le\rho\le 1,\quad 0\le z\le 3-A(\theta)\rho$$
Come vedi, in ciò che fai tu dimentichi che, a causa della forma delle limitazioni, ci dovrà essere una dipendenza diretta della $z$ dai valori delle altre due coordinate.

[HelpThermoo]

wooow ..ti ringrazio , ho capito , infatti mi puzzava quell'intervallo di z ...potevo accorgermene dall'equazione del piano no? visto che la figura è limitata dal quel piano , doveva essere

$ z<=3-x-y/2; z<=3-rhocostheta -(rhosentheta)/2 $

giusto?
geniale

[vict85]

Gli integrali sono invarianti per trasformazioni affini. Inoltre le equazioni della superficie cilindrica e quella del piano \(\displaystyle xOy \) sono invarianti per rotazioni rispetto all'asse \(\displaystyle z \). Quello che suggerisco è di ruotare il tutto in modo da rendere l'equazione dell'ultimo piano più semplice.

Ovviamente sei libero di non farlo e, siccome mi occupo di geometria e non di analisi, potrei benissimo suggerirti un modo per renderti più difficile l'integrale.