Aiuto convergenza integrale

[Summerwind78]

Ciao a tutti

avrei bisogno di una dritta su come procedere per studiare la convergenza di questo integrale

[tex]\displaystyle \int_{0}^{3} \frac{ \sqrt{\sin \left( x^{3} \right) } }{x\left( e^{3x} -1 \right)} dx[/tex]

ho già controllato che

[tex]\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ \sqrt{\sin \left( x^{3} \right) } }{x\left( e^{3x} -1 \right)} = 0[/tex]

a questo punto volevo provare qualche tipo di confronto, ma non mi è venuto nulla....


mi potreste dare qualche suggerimento su come procedere.... ovviamente non voglio la soluzione, mi servirebbe solo qualche spunto da cui partire.

Grazie mille

[Noisemaker]

ma che centra il limite per $x\to+\infty$??

[Summerwind78]

se non ho capito male....

è condizione necessaria ma non sufficiente perchè l'integrale

[tex]\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx[/tex]

converga che

[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} f(x) = 0[/tex]

sbaglio?

[Pappappero1]

Semmai $\lim_{x \to 0}$ (visto che l'integrale improprio parte da $0$). Sbaglio?

[Noisemaker]

L'integrale è definito per le funzioni continue in un compatto $[a, b],$ e dunque limitate. Si presenta tuttavia la necessità sia pratica che teorica, di considerare integrali anche per le funzioni non continue. Consideriamo delle funzioni generalmente continue in $[a, b],$ cioè delle funzioni che in $[a, b],$ sono dotate di un numero finito di punti di discontinuità. Cominciamo con il considerare una funzione $f(x)$ che sia continua nell'intervallo aperto a destra $[a, b),$ e sia $ \lim_{x \to b^-}f(x)=+\infty.$ Poichè $f$ è continua in ogni intervallo $[a,\varepsilon],$ con $a\le \varepsilon \begin{align*}
\int _{a}^{b-\varepsilon} f(x)\,\,dx
\end{align*}
per ogni $\varepsilon>0.$ Dunque se esiste finito il limite $ \lim_{\varepsilon \to 0^+}\int _{a}^{b-\varepsilon} f(x)\,\,dx$ si dice che la funzione $f(x)$ ha integrale improprio convergente nell'intervallo $[a,b],$ e per definizione si pone :
\begin{align*}
\int _{a}^{b } f(x)\,\,dx=\lim_{\varepsilon \to 0^+}\int _{a}^{b-\varepsilon} f(x)\,\,dx
\end{align*}

Consideriamo il seguente esempio fondamentale:
\begin{align*}
\int_0^1 \frac{1}{ x^{\alpha}},\quad\alpha>0;
\end{align*}
osserviamo subito che la funzione integranda $f(x)= 1/ x^{\alpha}$ è definita per tutti i valori di $x$ tali che $ x\ne0,$ perchè stiamo considerando l'intervallo di integrazione $[0,1],$ in cui $x>0,$ altrimenti sarebbe stato necessario considerare il valore assoluto di $x$ in quanto non è possibile eseguire l'elevamento a potenza reale di un numero negativo; allora per definizione, avremo:
\begin{align*}
\int _{0}^{1 }\frac{1}{ x^{\alpha}}\,\,dx&=\lim_{\varepsilon \to 0^+}\int _{\varepsilon}^{1} \frac{1}{ x^{\alpha}}\,\,dx= \begin{cases} \displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\ln x\right]_{\varepsilon}^{1}= \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\ln 1-\ln (\varepsilon) \right]=-(-\infty)=+\infty, & \mbox{se }\,\,\alpha=1, \\\\ \displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\frac{x^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]_{\varepsilon}^{1}=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\frac{1^{1-\alpha }}{1-\alpha }-\frac{(\varepsilon)^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]= \frac{1}{1-\alpha } & \mbox{se }\,\,\alpha<1, \\\\
\displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\frac{x^{1-\alpha }}{\alpha+1}\right]_{\varepsilon}^{1}=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\frac{1^{1-\alpha }}{1-\alpha }-\frac{(\varepsilon)^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]= +\infty & \mbox{se }\,\,\alpha>1 ;
\end{cases}
\end{align*}
dunque la funzione $f(x)=1/ x^{\alpha}$ è integrabile in senso improprio in $[0,1]$ se $\alpha<1.$

Consideriamo ora intervalli non limitati. Sia $f:[a;+\infty)\to \RR$ integrabile in ogni intervallo $[a;\delta]$ con $a\le\delta,$ e poniamo
\begin{align*}
J(\delta)=\int _{a}^{\delta}f(x)\,\,dx,\quad\text{se esiste il limite finito:}\quad \lim_{\delta \to +\infty} J(\delta) =\int _{a}^{+\infty}f(x)\,\,dx;
\end{align*}
la funzione si dirà integrabile in senso improprio sull'intervallo $[a;+\infty).$

Consideriamo la funzione dell'esempio precedente sull'intervallo $[1;+\infty):$
\begin{align*}
\int_1^{+\infty} \frac{1}{ x^{\alpha}},\quad\alpha>0;
\end{align*}
osserviamo subito che la funzione integranda $f(x)= 1/x^{\alpha}$ è definita per tutti i valori dell'intervallo di integrazione, e dunque presenta singolarità solo a ${+\infty};$ allora avremo per definizione:
\begin{align*}
\int _{1}^{+\infty}\frac{1}{ x^{\alpha}}\,\,dx&=\lim_{\delta \to +\infty}\int _{1}^{\delta} \frac{1}{ x^{\alpha}}\,\,dx= \begin{cases} \displaystyle\lim_{\delta \to +\infty} \left[\ln x\right]_{1}^{\delta}= \lim_{\delta \to +\infty} \left[\ln \delta-\ln 1 \right]= +\infty, & \mbox{se }\,\,\alpha=1, \\\\ \displaystyle\lim_{\delta \to +\infty} \left[\frac{x^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]_{1}^{\delta}=\lim_{\delta \to +\infty} \left[\frac{{\delta}^{1-\alpha }}{1-\alpha }-\frac{1}{1-\alpha }\right]= +\infty & \mbox{se }\,\,\alpha<1, \\\\
\displaystyle\lim_{\delta \to +\infty} \left[\frac{x^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]_{1}^{\delta}=\lim_{\delta \to +\infty} \left[\frac{{\delta}^{1-\alpha }}{1-\alpha }-\frac{1}{1-\alpha }\right]= \frac{1}{1-\alpha }& \mbox{se }\,\,\alpha>1;
\end{cases}
\end{align*}
dunque la funzione $f(x)=1/ x^{\alpha}$ è integrabile in senso improprio in $[1,+\infty)$ se $\alpha>1.$

Nel tuo caso, quindi, la funzione integranda risulta definita per $x\ne0,$ cioè le $x$ che annullano il denominatore, e $\sin x^3 >0,$ ovvero se
\begin{align*}
&\sqrt[3]{2k\pi}\le x \le\sqrt[3]{\pi+2k\pi},\qquad x\in\mathbb{Z}\\\\
\mbox{se} \quad k=0 :&\quad 0\le x \le\sqrt[3]{\pi}\\\\
\mbox{se}\quad k=1:&\quad \sqrt[3]{2\pi}\le x \le\sqrt[3]{3\pi},\qquad \sim\quad 1.85\le x \le 2.11\\\\
\mbox{se}\quad k=2:&\quad \sqrt[3]{4\pi}\le x \le\sqrt[3]{5\pi}\qquad \sim\quad 2.32\le x \le 2.5\\\\\
\mbox{se}\quad k=3:&\quad \sqrt[3]{6\pi}\le x \le\sqrt[3]{7\pi}\qquad \sim\quad 2.66\le x \le 2.8\\\\\
\mbox{se}\quad k=4:&\quad \sqrt[3]{8\pi}\le x \le\sqrt[3]{9\pi}\qquad \sim\quad 2.93\le x \le 3.04\\\\\
\end{align*}
nell'intervallo di integrazione $(0;3]$ l'integrale risulta improprio nell'origine, poichè in tutti i punti del tipo $( 2k\pi )^(1/3)\le x \le(\pi+2k\pi)^\(1/3), k=0,1,2,3$ è continua; quindi osservando inoltre che la funzone integranda risulta sempre non negativa in $(0;3],$ applicando il criterio del confronto asintotico, hai che quando $x\to 0^+$ hai che ...

[Summerwind78]

Grazie per la spiegazione....


applicando il confronto asintotico... se non sbaglio arriverei a dire che la funzione al numeratore converge....

ma posso quindi dire che l'integrale di un rapporto di funzioni convergenti converge a sua volta?

[Noisemaker]

se applichi il confronto asintotico quando $x\to0$ hai che
\begin{align}
\frac{\sqrt{\sin^3x}}{x(e^{3x}-1)}\sim \frac{ x^{3/2}}{ 3x^2} =\frac{ 1}{ 3x^{1/2}} ....
\end{align}
da cui, se hai letto il post precedente, dovresti concludere...

[Summerwind78]

Arrivo a conclude che, convergendo $1/(3x^(1/2))$ converge anche la funzione originale

sbaglio?

ho però un dubbio per quanto riguarda l'approssimazione suggerita da Noisemaker

il numeratore mi è chiaro... ma non capisco come tu sia passato, al denominatore da $x(e^(3x)-1)$ a $3x^2$

[rino6999]

per $ xrarr 0 $ si ha $ e^(3x)-1~ 3x $(limite notevole)

[Summerwind78]

Perfetto

grazie mille