Aiuto convergenza integale
Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano per determinare la convergenza del seguente integrale al variare del parametro $ a $:
$ int_(0)^(pi/8) sin(2x)/((|log(cos2x)|^a)cos(2x))dx $
So che l'estremo "Problematico" è lo zero, quindi devo trovare la convergenza per questo estremo.
Inoltre so che il $ sen2x $ è asintotico a $ 2x $ per x che tende a 0.
Poi non riesco più ad andare avanti. Come continuo?
Grazie
$ int_(0)^(pi/8) sin(2x)/((|log(cos2x)|^a)cos(2x))dx $
So che l'estremo "Problematico" è lo zero, quindi devo trovare la convergenza per questo estremo.
Inoltre so che il $ sen2x $ è asintotico a $ 2x $ per x che tende a 0.
Poi non riesco più ad andare avanti. Come continuo?
Grazie
Risposte
Beh puoi utilizzare il fatto che $\cos(2x)\approx 1-2x^2$ e che quindi $\log(1-2x^2)\approx -2x^2$
Grazie per avermi risposto. Quindi ottengo:
$ (2x)/(|-2x^2|^a*(1-2x^2) $
Ora devo dividere a in due casi separati a causa del modulo giusto?
Quindi otterrei per x>0
$ (2x)/(-2x^(2a)*(1-2x^2) $
e per x<0
$ (2x)/(2x^(2a)*(1-2x^2) $
Ora come continuo? scusami per le domande ma ho difficoltà nel trovare la convergenza degli integrali...
$ (2x)/(|-2x^2|^a*(1-2x^2) $
Ora devo dividere a in due casi separati a causa del modulo giusto?
Quindi otterrei per x>0
$ (2x)/(-2x^(2a)*(1-2x^2) $
e per x<0
$ (2x)/(2x^(2a)*(1-2x^2) $
Ora come continuo? scusami per le domande ma ho difficoltà nel trovare la convergenza degli integrali...
"GOPRO HERO4":
Grazie per avermi risposto. Quindi ottengo:
$ (2x)/(|-2x^2|^a*(1-2x^2) $
Ora devo dividere a in due casi separati a causa del modulo giusto?
No non è giusto... quella $a$ da dove salta fuori??
In realtà lo $0$ non è un estremo problematico: prova a calcolare il limite di quella funzione...
"Bossmer":
[quote="GOPRO HERO4"]Grazie per avermi risposto. Quindi ottengo:
$ (2x)/(|-2x^2|^a*(1-2x^2) $
Ora devo dividere a in due casi separati a causa del modulo giusto?
No non è giusto... quella $a$ da dove salta fuori??[/quote]
Hai ragione, non so come ho fatto ma avevo sbagliato nel primo messaggio a scrivere l'integrale.
Devo trovare la convergenza al variare dewl parametro $ a $ dell'integrale:
$ int_(0)^(pi/8) (sin2x)/(|log(cos2x)|^a*cos2x) dx $
Le stime asintotiche valgono lo stesso giusto? Quindi dovrei ricondurmi a:
$ (2x)/(|-2x^2|^a*(1-2x^2) $
e che ora non so più andare avanti...
come non sai più andare avanti ??!!
devi confrontare l'integrale con essenzialmente l'unica famiglia notevole di integrali che si conosce... ovvero $\frac{1}{x^a}$ famiglia della quale dovresti sapere TUTTO.
devi confrontare l'integrale con essenzialmente l'unica famiglia notevole di integrali che si conosce... ovvero $\frac{1}{x^a}$ famiglia della quale dovresti sapere TUTTO.
Quindi basta dire che l'integrale converge per gli $ a<1 $?
Il modulo faccio finta che non ci sia?
Il modulo faccio finta che non ci sia?
Ma quale finta?!
è evidente che $|-2x^2|=2x^2$ per ogni $x$ , ti torna?
e poi no non basta dire quello, tu hai che
$$
\int\frac{2x}{2^ax^{2a}(1-2x^2)}=\int\frac{2}{2^ax^{2a-1}(1-2x^2)}\approx\int\frac{2}{2^ax^{2a-1}}
$$
da cui concludi che $2a-1<1$ per ciò $a<1$
è evidente che $|-2x^2|=2x^2$ per ogni $x$ , ti torna?
e poi no non basta dire quello, tu hai che
$$
\int\frac{2x}{2^ax^{2a}(1-2x^2)}=\int\frac{2}{2^ax^{2a-1}(1-2x^2)}\approx\int\frac{2}{2^ax^{2a-1}}
$$
da cui concludi che $2a-1<1$ per ciò $a<1$
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