[Aiuto] Convergenza di una serie

[Salvo391]

Ho un problema con le serie che si presentano sotto forma di $\sum_{n=0}^\infty\frac{n^2+(-1)^n n^2}{(n^2+1)ln n}$
Non riesco a capire da dove partire... non vi chiedo la soluzione ma anche un piccolo suggerimento iniziale su come impostarla per poterla risolvere.
Vi ringrazio in anticipo.

[Seneca1]

Il termine generale della serie per $n$ dispari è $0$. Quindi la serie si riduce a $sum_(n=0)^(+oo) 2 * (2n)^2/(((2n)^2 + 1 )ln(2n))$.

[Salvo391]

"Seneca":Il termine generale della serie per $n$ dispari è $0$. Quindi la serie si riduce a $sum_(n=0)^(+oo) 2 * (2n)^2/(((2n)^2 + 1 )ln(2n))$.

grazie per l'aiuto, lo stesso discorso vale anche per la serie $\sum_{n=0}^\infty\frac{n+(-1)^n n^2}{(n^{3}+1)lnn}$ ?

[Salvo391]

nessuno che mi aiuta? non la riesco proprio a capire io ho pensato inizialmente di trovare una serie sintetica utilizzando gli sviluppi di taylor ma non penso sia così.

[totissimus]

La serie [size=150]\( \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{(n^3+1)\ln n}\)[/size] converge, infatti:
\( lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n^3}{(n^3+1)\ln n}=0\) da cui definitivamente si ha :\(\frac{n^3}{(n^3+1)\ln n}<1\), \( \frac{n}{(n^3+1)\ln n}<\frac{1}{n^2}\) e la convergenza segue dal criterio del confronto.

La serie \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n n^2}{(n^3+1) \ln n}\) è a segni alterni, \( \frac{ n^2}{(n^3+1) \ln n}\) è decrescente e tende a zero quindi anche questa serie converge.

La serie di partenza è la somma di queste due e quindi converge anch'essa. Buone vacanze