Aiuto_Consigli_ Escamotage _Calcolo Funzione Inversa
Salve;
Da quanto appreso, non vi è una regola generale per calcolare la funzione inversa di una generica funzione_ a patto che questa sia invertibile:
ricordando che lo è se e solo se soddisfa la relazione (biunivoca)... ; Nel caso di funzioni continue una condizione sufficiente ma non necessaria è la stretta monotona ( crescente a $+infty$ ) (decrescente a $-infty$ ) .
Se i Mod me lo consentono vorrei che questo topic diventasse un vademecum " in evidenza" per domande , esercizi e quant'altro può aiutare nello specifico chi si appresta a risolvere questo tema più o meno banale ma neanche troppo che è quello dell'invertibilità della funzione; spesso trattato dai testi in modo superfluo nelle applicazioni pratiche ...!
topic che può giustamente esser modificato in caso ne riteniate opportuno
Colgo l'occasione per postare alcune domande...
1) Non c'è un metodo generale per la funzione inversa ok , ma non penso operiamo sempre allo stesso modo per esplicitare la y giusto?;
nel caso di
$ y= x/logx$ non so procedere , non avendo mai effettuato simil esercizi:
propongo il primo passaggio $ x= y/logy$ ma non abbiamo fatto niente , solamente cambiato le variabili....
come ci si comporta con un quoziente di funzioni ?
il risultato se non vado errato è $e^(x/y)-x=0$ che poi sarebbe $ x = e^(x/y)$ .
prima del risultato vorrei capire come arrivarci e sopratutto il significato di questa soluzione
Grazie dell'attenzione
Cordiali Saluti.
Da quanto appreso, non vi è una regola generale per calcolare la funzione inversa di una generica funzione_ a patto che questa sia invertibile:
ricordando che lo è se e solo se soddisfa la relazione (biunivoca)... ; Nel caso di funzioni continue una condizione sufficiente ma non necessaria è la stretta monotona ( crescente a $+infty$ ) (decrescente a $-infty$ ) .
Se i Mod me lo consentono vorrei che questo topic diventasse un vademecum " in evidenza" per domande , esercizi e quant'altro può aiutare nello specifico chi si appresta a risolvere questo tema più o meno banale ma neanche troppo che è quello dell'invertibilità della funzione; spesso trattato dai testi in modo superfluo nelle applicazioni pratiche ...!
topic che può giustamente esser modificato in caso ne riteniate opportuno
Colgo l'occasione per postare alcune domande...
1) Non c'è un metodo generale per la funzione inversa ok , ma non penso operiamo sempre allo stesso modo per esplicitare la y giusto?;
nel caso di
$ y= x/logx$ non so procedere , non avendo mai effettuato simil esercizi:
propongo il primo passaggio $ x= y/logy$ ma non abbiamo fatto niente , solamente cambiato le variabili....
come ci si comporta con un quoziente di funzioni ?
il risultato se non vado errato è $e^(x/y)-x=0$ che poi sarebbe $ x = e^(x/y)$ .
prima del risultato vorrei capire come arrivarci e sopratutto il significato di questa soluzione
Grazie dell'attenzione
Cordiali Saluti.
Risposte
Per prima cosa non hai esplicitato un bel nulla, perché la x rimane da entrambi i lati dell'uguale.
Per seconda cosa, non riuscirai mai a scrivere quella funzione nella forma [tex]x=f(y)[/tex] dove [tex]f(\cdot)[/tex] è una funzione ottenuta componendo tra loro (sommandole, moltiplicandole o sostituendole una nell'altra) funzioni elementari. Cioè, non ha un'inversa come te la immagini.
Per terza cosa, osservo che c'è una bella differenza tra sapere che una data funzione esiste e poterla scrivere oppure calcolarne il valore.
Per quarta cosa, è per ovviare a problemi come questo, in cui semplici passaggi algebrici non ti consentono di venirne a capo, che sono stati elaborati i teoremi come quello delle Funzioni Implicite, che nel caso di funzioni di due variabili prende anche il nome di Teorema del Dini. Bada bene: questi teoremi garantiscono l'esistenza (locale) e ti permettono sotto buone ipotesi di calcolare un'approssimazione della funzione inversa, ma niente di più!
Per seconda cosa, non riuscirai mai a scrivere quella funzione nella forma [tex]x=f(y)[/tex] dove [tex]f(\cdot)[/tex] è una funzione ottenuta componendo tra loro (sommandole, moltiplicandole o sostituendole una nell'altra) funzioni elementari. Cioè, non ha un'inversa come te la immagini.
Per terza cosa, osservo che c'è una bella differenza tra sapere che una data funzione esiste e poterla scrivere oppure calcolarne il valore.
Per quarta cosa, è per ovviare a problemi come questo, in cui semplici passaggi algebrici non ti consentono di venirne a capo, che sono stati elaborati i teoremi come quello delle Funzioni Implicite, che nel caso di funzioni di due variabili prende anche il nome di Teorema del Dini. Bada bene: questi teoremi garantiscono l'esistenza (locale) e ti permettono sotto buone ipotesi di calcolare un'approssimazione della funzione inversa, ma niente di più!
"maurer":
Per prima cosa non hai esplicitato un bel nulla, perché la x rimane da entrambi i lati dell'uguale.
per prima risposta: hai frainteso a cosa era riferito "esplicitare" ; non era riferito al risultato ma era rivolto alla domanda.... rileggi bene!
di solito prima si cerca di scambiare la x con la y , e poi si cerca di esplicitare la y.
questo volevo dire...
Per seconda cosa, non riuscirai mai a scrivere quella funzione nella forma [tex]x=f(y)[/tex] dove [tex]f(\cdot)[/tex] è una funzione ottenuta componendo tra loro (sommandole, moltiplicandole o sostituendole una nell'altra) funzioni elementari. Cioè, non ha un'inversa come te la immagini.
non ho detto infatti che cerco una determinata forma di funzione inversa.
Per terza cosa, osservo che c'è una bella differenza tra sapere che una data funzione esiste e poterla scrivere oppure calcolarne il valore.
niente di nuovo... (':- <--- perchè non funzione l'emoticon che fischietta? XD
Per quarta cosa, è per ovviare a problemi come questo, in cui semplici passaggi algebrici non ti consentono di venirne a capo, che sono stati elaborati i teoremi come quello delle Funzioni Implicite, che nel caso di funzioni di due variabili prende anche il nome di Teorema del Dini. Bada bene: questi teoremi garantiscono l'esistenza (locale) e ti permettono sotto buone ipotesi di calcolare un'approssimazione della funzione inversa, ma niente di più!
Grazie della risposta:
Sapresti postarmi i passaggi successivi della funzione soprapostata ?
Va beh, vuoi scambiare la x e la y e poi ricavare la y in funzione della x. Sarebbe la stessa cosa non cambiare i nomi delle variabili e ricavare la x in funzione della y.
Però è quello che stai cercando di fare. Riusciresti a dirmi in modo rigoroso come vorresti che fosse scritta la funzione inversa di [tex]y = \frac{x}{\log(x)}[/tex] (scritta, non ottenuta, ossia, in altre parole, come vorresti che venisse scritto il risultato finale)?
Cosa significa? Che devo indovinare i passaggi che hai fatto per passare da [tex]y = \frac{x}{\log(x)}[/tex] a [tex]x = e^{\frac{x}{y})[/tex]? Hai moltiplicato per [tex]\log(x)[/tex] e diviso per y, poi hai preso l'esponenziale di ambo i membri.
Oppure vuol dire che devo postare i passaggi per ricavare la x in funzione della y? In questo caso non posso farlo, perché, come ho già detto, non mi sembra che sia possibile esprimere la funzione inversa di [tex]y = \frac{x}{\log(x)}[/tex] in termini di funzioni elementari (e quindi tramite semplici passaggi algebrici).
"mat100":
non ho detto infatti che cerco una determinata forma di funzione inversa.
Però è quello che stai cercando di fare. Riusciresti a dirmi in modo rigoroso come vorresti che fosse scritta la funzione inversa di [tex]y = \frac{x}{\log(x)}[/tex] (scritta, non ottenuta, ossia, in altre parole, come vorresti che venisse scritto il risultato finale)?
"mat100":
Sapresti postarmi i passaggi successivi della funzione soprapostata ?
Cosa significa? Che devo indovinare i passaggi che hai fatto per passare da [tex]y = \frac{x}{\log(x)}[/tex] a [tex]x = e^{\frac{x}{y})[/tex]? Hai moltiplicato per [tex]\log(x)[/tex] e diviso per y, poi hai preso l'esponenziale di ambo i membri.
Oppure vuol dire che devo postare i passaggi per ricavare la x in funzione della y? In questo caso non posso farlo, perché, come ho già detto, non mi sembra che sia possibile esprimere la funzione inversa di [tex]y = \frac{x}{\log(x)}[/tex] in termini di funzioni elementari (e quindi tramite semplici passaggi algebrici).
"maurer":
Riusciresti a dirmi in modo rigoroso come vorresti che fosse scritta la funzione inversa di [tex]y = \frac{x}{\log(x)}[/tex] , come vorresti che venisse scritto il risultato finale)?
non c'è un modo che preferirei .... se la matematica è rigorosa ; penso che il risultato sia uno ed uno solo !
Cosa significa? Che devo indovinare i passaggi che hai fatto per passare da [tex]y = \frac{x}{\log(x)}[/tex] a [tex]x = e^{\frac{x}{y})[/tex]? Hai moltiplicato per [tex]\log(x)[/tex] e diviso per y, poi hai preso l'esponenziale di ambo i membri.
Oppure vuol dire che devo postare i passaggi per ricavare la x in funzione della y? In questo caso non posso farlo, perché, come ho già detto, non mi sembra che sia possibile esprimere la funzione inversa di [tex]y = \frac{x}{\log(x)}[/tex] in termini di funzioni elementari (e quindi tramite semplici passaggi algebrici).
no, non significa che devi indovinare niente....
io quel risultato l'ho letto; ma non so cosa significhi e come ci si arriva....
sono quà per questo , per capire se quel risultato innanzitutto sia giusto... sai non mi fido mai al 100% dei testi o altro ma confronto sempre i pareri;
e poi scoprire ed acquisire nozioni di tale argomento che "conosco non tanto bene"
"mat100":
non c'è un modo che preferirei .... se la matematica è rigorosa ; penso che il risultato sia uno ed uno solo !
Su questo non c'è ombra di dubbio. Quello che ti volevo far capire è che nella maggior parte dei casi, benché sappiamo che una certa funzione esiste, non abbiamo la più pallida idea di come scriverla esplicitamente. Cioè, più che dire: "la tal funzione esiste; chiamiamola [tex]f(x)[/tex]", senza poi, di fatto, dare un'espressione chiusa per la [tex]f[/tex], spesso non possiamo fare (e talvolta, se siamo fortunati, riusciamo a dimostrare che non è proprio possibile per noi scrivere la funzione considerata).
Per quanto riguarda la domanda da te postata, ho descritto prima i passaggi per passare da [tex]y = \frac{x}{\log(x)}[/tex] a [tex]x = e^{\frac{x}{y}}[/tex]; tuttavia, ripeto, questa non è la funzione inversa che cerchi, perché la x compare da entrambi i lati...
... e poi perché la funzione considerata non è invertibile. Subito non ci avevo fatto caso, ma
[tex]\lim_{x\to 1^+}\frac{x}{\log(x)} = +\infty[/tex] e [tex]\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\log(x)}=+\infty[/tex] e quindi in [tex](1,+\infty)[/tex] la funzione non è iniettiva, da cui segue che non può essere biunivoca.
"maurer":
[quote="mat100"]
non c'è un modo che preferirei .... se la matematica è rigorosa ; penso che il risultato sia uno ed uno solo !
Su questo non c'è ombra di dubbio. Quello che ti volevo far capire è che nella maggior parte dei casi, benché sappiamo che una certa funzione esiste, non abbiamo la più pallida idea di come scriverla esplicitamente. Cioè, più che dire: "la tal funzione esiste; chiamiamola [tex]f(x)[/tex]", senza poi, di fatto, dare un'espressione chiusa per la [tex]f[/tex], spesso non possiamo fare (e talvolta, se siamo fortunati, riusciamo a dimostrare che non è proprio possibile per noi scrivere la funzione considerata).
Per quanto riguarda la domanda da te postata, ho descritto prima i passaggi per passare da [tex]y = \frac{x}{\log(x)}[/tex] a [tex]x = e^{\frac{x}{y}}[/tex]; tuttavia, ripeto, questa non è la funzione inversa che cerchi, perché la x compare da entrambi i lati...
... e poi perché la funzione considerata non è invertibile. Subito non ci avevo fatto caso, ma
[tex]\lim_{x\to 1^+}\frac{x}{\log(x)} = +\infty[/tex] e [tex]\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\log(x)}=+\infty[/tex] e quindi in [tex](1,+\infty)[/tex] la funzione non è iniettiva, da cui segue che non può essere biunivoca.[/quote]
grazie del tuo contributo;
ma ti posso dire che ti sbagli... la funzione è stata analizzata a lezione ed è invertibile nell'intervallo $ [e, +infty )$
ora io non so se quella è la funzione inversa di $x/logx$
in ogni caso, spero che a questo topic si unisca la genialità di qualche matematico di buona volontà.... per capire meglio
grazie...
@mat100: Quanto dici non è in contrasto con quanto dice maurer; una funzione può essere invertibile in [tex][e, \infty)[/tex] e non esserlo in [tex](1, \infty)[/tex]. E' un fenomeno comunissimo: per esempio [tex]x \mapsto x^2[/tex] è invertibile in [tex][0, \infty)[/tex] ma non lo è in [tex](-\infty, \infty)[/tex].
in ogni caso, spero che a questo topic si unisca la genialità di qualche matematico di buona volontà...Per la genialità, è merce inutile in questo contesto. Per la buona volontà, maurer ne ha mostrata una buona dose; ora è il tuo turno. Sforzati di capire ciò che ti ha scritto perché è tutto condivisibile.
"dissonance":
@mat100: Quanto dici non è in contrasto con quanto dice maurer; una funzione può essere invertibile in [tex][e, \infty)[/tex] e non esserlo in [tex](1, \infty)[/tex]. E' un fenomeno comunissimo: per esempio [tex]x \mapsto x^2[/tex] è invertibile in [tex][0, \infty)[/tex] ma non lo è in [tex](-\infty, \infty)[/tex].
in ogni caso, spero che a questo topic si unisca la genialità di qualche matematico di buona volontà...Per la genialità, è merce inutile in questo contesto. Per la buona volontà, maurer ne ha mostrata una buona dose; ora è il tuo turno. Sforzati di capire ciò che ti ha scritto perché è tutto condivisibile.
allora scusami!
pensavo si sapesse che stavamo parlando dell'intervallo $ [ e ,+ infty) $ ho risposto male nel post precedente !!!... stavamo parlando di due cose diverse ....
cmq lo so che una funzione può essere non invertibile in un determinato intervallo ed invertibile in una restrizione ....
per quanto riguarda la parte pratica del calcolo di quest'ultima nell'intervallo sopracitato ... non so avanzare;
se mi scrivi magari qualche passaggio e lo commenti te ne saremo grati tutti!
.thankx,
Ma tu sei sicuro che sia possibile esprimere la funzione inversa in termini elementari? Io, come maurer, non credo. Tuttalpiù si arriva ad una espressione in forma implicita come quella che avete trovato.
"dissonance":
Ma tu sei sicuro che sia possibile esprimere la funzione inversa in termini elementari? Io, come maurer, non credo. Tuttalpiù si arriva ad una espressione in forma implicita come quella che avete trovato.
no , non ne sono sicuro ecco !!!!
Dissonance; ti dico pure che dovrei calcolare la derivata di questa inversa in $ y_0= e^2/2$
sto cercando di capire tutto quà
thkx.
Te pozzino ...
Questo esercizio serve proprio a farti vedere come manipolare le funzioni inverse senza conoscerne esplicitamente l'espressione analitica. C'è infatti un teorema, o regola di calcolo (chiamala come vuoi) che ti permette di calcolare le derivate delle funzioni inverse. Cercalo sugli appunti o (meglio) sul libro, lo trovi nel capitolo sulle derivate, in genere è vicino alla regola di Leibniz e compagnia cantante.
Questo esercizio serve proprio a farti vedere come manipolare le funzioni inverse senza conoscerne esplicitamente l'espressione analitica. C'è infatti un teorema, o regola di calcolo (chiamala come vuoi) che ti permette di calcolare le derivate delle funzioni inverse. Cercalo sugli appunti o (meglio) sul libro, lo trovi nel capitolo sulle derivate, in genere è vicino alla regola di Leibniz e compagnia cantante.
"dissonance":
Te pozzino ...
Questo esercizio serve proprio a farti vedere come manipolare le funzioni inverse senza conoscerne esplicitamente l'espressione analitica. C'è infatti un teorema, o regola di calcolo (chiamala come vuoi) che ti permette di calcolare le derivate delle funzioni inverse. Cercalo sugli appunti o (meglio) sul libro, lo trovi nel capitolo sulle derivate, in genere è vicino alla regola di Leibniz e compagnia cantante.
si lo so !
se è quello che penso è : $ 1/(f'(x_0))$ nel nostro caso $ 1/ [(logx-1)/(logx)^2]=[(logx)^2/(logx-1)] $ <-- che dovrebbe essere la nostra derivata inversa;
ora come calcoliamo algebricamente il punto il punto $x_0=e^2/2$
??
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