Aiuto con un'equazione differenziale

[vitunurpo]

Ciao
Vi chiedo aiuto nel capire come è stata svolta la seguente equazione differenziale che riporto qui di seguito.
Purtroppo non sono molto ferrato (provo comunque a riportare il procedimento che ho tento) e nelle dispende del prof c'è direttamente la soluzione, senza il procedimento. Mi trovo in difficoltà a capire lo svolgimento.

$ \varepsilon = L(di)/dt +Ri $

$ (\varepsilon)/dt = L(d^2i)/dt^2+Ri/dt $

$ L(d^2i)/dt^2+Rdi/dt-(\varepsilon)/dt $ =0

$ (d^2i)/dt^2+R/L(di/dt)-(\varepsilon)/(dtL) $ = 0

Poi da qui dovrei fare la risoluzione con il polinomio caratteristico e le due radici? Fin qui è corretto?

Qui proseguirei con lo svolgere questo
$ (-R/L+- sqrt((R/L)^2+4\epsilon/L))/2 $

La soluzione finale mi è data come

$ i(t)=Ae^(-tR/L)+\epsilon/R $

potreste darmi una mano a svolgere la soluzione? (non mi è richiesta esplicitamente... interessa a me come cosa)...Grazie !!!

[seb1]

Non è ben chiaro cosa accetteresti come risposta, né perché hai derivato rispetto al tempo come primo passo: è un circuito RLC in serie? \(\varepsilon\) dipende dalla carica? dal tempo? Trattando \(\varepsilon\) come una costante, l'integrale generale dell'equazione differenziale \(i'(t)+\frac{R}{L}i(t)=\frac{\varepsilon}{L}\) è dato da:\[i(t)=e^{-\alpha(t)}\left[c+\int\frac{\varepsilon}{L}e^{\alpha(t)}\mathrm{d}t\right]\]con \(\alpha(t)=\int\frac{R}{L}\mathrm{d}t\) e \(c\) costante definita dalle condizioni iniziali. Però adottare una formula senza nemmeno sapere donde sorge non ha molto senso; perciò, poco rigorosamente, ma in maniera più comprensibile:\[L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+Ri=\varepsilon\implies\frac{L}{\varepsilon-Ri}\mathrm{d}i=\mathrm{d}t\]Ora integriamo, sapendo che all'istante iniziale la corrente è nulla, mentre all'istante \(t\) si ha la corrente \(i\):\[\int_0^i\frac{L}{\varepsilon-R\imath}\mathrm{d}\imath=\int_0^t\mathrm{d}\tau\implies-\frac{L}{R}\ln{|\varepsilon-R\imath|}\Big|_0^i=\tau\Big|_0^t\implies\frac{L}{R}\ln{\left|\frac{\varepsilon}{\varepsilon-Ri}\right|}=t\implies i=Ae^{-\frac{R}{L}t}+\frac{\varepsilon}{R}\]con \(A=-\frac{\varepsilon}{R}\) (che, ad ogni modo, non so se sia la stessa \(A\) del tuo prof).
Spero sia d'aiuto

[vitunurpo]

Innanzitutto, mi scuso di non aver fatto delle specificazioni.... Ora contestualizzo bene il ''problema''.
Stavamo studiando i circuiti RL in serie, quindi composti da un generatore, una resistenza e un induttore.
Il tutto è partito quindi dal considerare la legge di Ohm

$ \epsilon+\epsilon_L=Ri $
Preciso quindi che $ epsilon_L $ è la fem autoindotta, e $ \epsilon_L=-L(di)/dt $ con L il coefficiente di autoinduzione o induttanza.
e poi, nel pdf ci ha direttamente schiaffato li la soluzione dell'equazione

$ i(t)=Ae^(-t(R/L))+\epsilon/R $
con A una costante da determinare con le condizioni iniziali
(quindi per esempio, al momento di chiusura del circuito avrai $ i(t=0)=0 $ e quindi $ A=-\epsilon/R $
ecc...

Secondo, ti ringrazio immensamente per la gentilezza e l'aiuto

[seb1]

Figurati
Beh, allora siamo a posto, no? Avevo domandato se fosse un circuito RLC in serie data la derivazione rispetto al tempo che avevi applicato. In ogni caso avevo intuito si trattasse di un RL, così t'ho dato una risoluzione che fosse adeguata al caso. Confido sia chiaro il procedimento, invece.

[vitunurpo]

Guarda... in altri esempi era abbastanza usata come risoluzione (mi sto riferendo alla mia genialità del derivare rispetto al tempo), quindi ho voluto riprovarci, ma mi sono incastrata malamente.
Grazie ancora