Aiuto con una serie geometrica
Salve, sto cercando una mano per riuscire a capire come fare una serie.
Mi serve per un problema di probabilità, il punto è che il mio professore di analisi purtroppo ha sorvolato sulle serie.
Quindi l'unica cosa che ci ha lasciato sulle serie geometriche è che
se |q| < 1 allora la formula è $ sum(q^n) = 1/(1-q) $ Con che va da zero a infinito
Ora io devo calcolare $ sum_(y = 1 \) 2(1/2)^x * (1/3)^y $
Vi prego di essere clementi sono qui per imparare quindi vi riporto i ragionamenti che ho fatto
Visto che è una sommatoria su y, tutto ciò che non ha y, lo metto fuori, considerandolo come una costante quindi
$ 2(1/2)^x *sum_(y = 1 \) (1/3)^y $
Chiaramente vediamo che è una serie geometrica
quindi
$ 2(1/2)^x *(3/2+1) $
Il più 1 l'ho messo perché la serie parte da uno e non da zero
Solo che la soluzione del mio professore è
$ 2/3(1/3)^(y-1) $
E non ho la minima idea del perché sia così. Grazie per le future risposte
Mi serve per un problema di probabilità, il punto è che il mio professore di analisi purtroppo ha sorvolato sulle serie.
Quindi l'unica cosa che ci ha lasciato sulle serie geometriche è che
se |q| < 1 allora la formula è $ sum(q^n) = 1/(1-q) $ Con che va da zero a infinito
Ora io devo calcolare $ sum_(y = 1 \) 2(1/2)^x * (1/3)^y $
Vi prego di essere clementi sono qui per imparare quindi vi riporto i ragionamenti che ho fatto
Visto che è una sommatoria su y, tutto ciò che non ha y, lo metto fuori, considerandolo come una costante quindi
$ 2(1/2)^x *sum_(y = 1 \) (1/3)^y $
Chiaramente vediamo che è una serie geometrica
quindi
$ 2(1/2)^x *(3/2+1) $
Il più 1 l'ho messo perché la serie parte da uno e non da zero
Solo che la soluzione del mio professore è
$ 2/3(1/3)^(y-1) $
E non ho la minima idea del perché sia così. Grazie per le future risposte
Risposte
Ciao Leira2910,
C'è sicuramente qualche errore, perché se sommi su $y$ nel risultato non può comparire $y$...
Poi è sbagliata anche la somma della serie che hai scritto, perché si ha:
$\sum_{y = 1}^{+\infty} (1/3)^y = \sum_{y = 0}^{+\infty} (1/3)^y - 1 = 1/(1 - 1/3) - 1 = 3/2 - 1 = 1/2 $
Invece se si somma su $x$ si ha:
$\sum_{x = 1}^{+\infty} 2(1/2)^x (1/3)^y = 2(1/3)^y \sum_{x = 1}^{+\infty} (1/2)^x = 2/3^y = 2/3 cdot 3/3^y = 2/3 (3^{1 - y}) = 2/3 (1/3)^{y - 1} $
C'è sicuramente qualche errore, perché se sommi su $y$ nel risultato non può comparire $y$...
Poi è sbagliata anche la somma della serie che hai scritto, perché si ha:
$\sum_{y = 1}^{+\infty} (1/3)^y = \sum_{y = 0}^{+\infty} (1/3)^y - 1 = 1/(1 - 1/3) - 1 = 3/2 - 1 = 1/2 $
Invece se si somma su $x$ si ha:
$\sum_{x = 1}^{+\infty} 2(1/2)^x (1/3)^y = 2(1/3)^y \sum_{x = 1}^{+\infty} (1/2)^x = 2/3^y = 2/3 cdot 3/3^y = 2/3 (3^{1 - y}) = 2/3 (1/3)^{y - 1} $
"pilloeffe":
Ciao Leira2910,
C'è sicuramente qualche errore, perché se sommi su $y$ nel risultato non può comparire $y$...
Eh infatti mi era venuto il dubbio anche a me che il professore avesse sbagliato a scrivere la soluzione, quindi grazie mille per la conferma! ( se mai in maniera molto gentile gli manderò una mail così corregge il testo)
"pilloeffe":
Poi è sbagliata anche la somma della serie che hai scritto, perché si ha:
$\sum_{y = 1}^{+\infty} (1/3)^y = \sum_{y = 0}^{+\infty} (1/3)^y - 1 = 1/(1 - 1/3) - 1 = 3/2 - 1 = 1/2 $
Qui ho due domande:
-Quindi quando la serie parte da un numero maggiore di zero, devi togliere gli addendi precedenti? ( che effettivamente ha molto più senso, io ho aggiunto perché lo avevo visto su un esercizio di un forum)
-qui come mai scompare del tutto $ 2*(1/2)^x $ ?
"pilloeffe":
Invece se si somma su $x$ si ha:
$\sum_{x = 1}^{+\infty} 2(1/2)^x (1/3)^y = 2(1/3)^y \sum_{x = 1}^{+\infty} (1/2)^x = 2/3^y = 2/3 cdot 3/3^y = 2/3 (3^{1 - y}) = 2/3 (1/3)^{y - 1} $
Questa invece l'ho capita e ti ringrazio davvero tantissimo!! Anche perché mi hai dato esempio di un trucchetto comodo con le potenze per scriverla in maniera più compatta!!
Grazie ancora per la risposta è stata davvero molto utile
"Leira2910":
Quindi quando la serie parte da un numero maggiore di zero, devi togliere gli addendi precedenti?
Beh sì, se ci pensi omettendo l'argomento si ha:
$\sum_{n = 0}^{+\infty} = 1 + \sum_{n = 1}^{+\infty} \implies \sum_{n = 1}^{+\infty} = \sum_{n = 0}^{+\infty} - 1 $
"Leira2910":
- qui come mai scompare del tutto $2⋅(1/2)^x $?
No, non è che scompare, è che ho considerato solo la serie...
Alla fine risulta $(1/2)^x $
Ah perfetto!! Ti ringrazio ancora! Tutto molto chiaro
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