Aiuto con una serie
Salve a tutti ragazzi ho bisogno di un po di aiuto con la seguente serie, devo stabilire quando converge,
$\sum_{n=2}^infty ((5^(1/n)-1)^n+((n*ln(n))/((n^alpha)-1))$
Allora la mia prof ha pensato di dividerla in $\A=$$\sum_{n=2}^infty ((5^(1/n)-1)^n)$ e $\B=$$\sum_{n=2}^infty ((n*ln(n))/((n^alpha)-1))$ ed io non capisco ancora perchè questo si possa fare.
Poi per $\A$ ha applicato il criterio della radice osservando che la serie converge mentre per $\B$ ha applicato il criterio degli infinitesimi dicendo che la serie è a termini non negativi!
Ora la mia domanda è la $\B$ a me non sembra proprio a termini non negativi quindi come faccio ad applicare il criterio degli infinitesimi? grazie mille
Ps $\alpha$ varia in $\RR$
$\sum_{n=2}^infty ((5^(1/n)-1)^n+((n*ln(n))/((n^alpha)-1))$
Allora la mia prof ha pensato di dividerla in $\A=$$\sum_{n=2}^infty ((5^(1/n)-1)^n)$ e $\B=$$\sum_{n=2}^infty ((n*ln(n))/((n^alpha)-1))$ ed io non capisco ancora perchè questo si possa fare.
Poi per $\A$ ha applicato il criterio della radice osservando che la serie converge mentre per $\B$ ha applicato il criterio degli infinitesimi dicendo che la serie è a termini non negativi!
Ora la mia domanda è la $\B$ a me non sembra proprio a termini non negativi quindi come faccio ad applicare il criterio degli infinitesimi? grazie mille
Ps $\alpha$ varia in $\RR$
Risposte
A me la $B$ sembra a termini positivi a patto che sia $alpha > 0$...
Il problema è che $\alpha$ varia in $\RR$
Primo caso: Per $alpha > 0$ il termine generale di $B$ è come se fosse $(n * log(n))/n^alpha = n^(1 - alpha) * log(n)$
La condizione necessaria per la convergenza di quella serie è violata non appena $1 - alpha >= 0$ (cioè $0 < alpha <= 1$ ). Essendo la serie a termini positivi si può dedurre che per questi valori $B$ diverge.
Per $1 - alpha < 0$ succede che è il termine generale è infinitesimo e quindi devi stabilire cosa accade utilizzando i criteri che conosci (puoi star sicuro che la serie è a termini di segno definitivamente costante).
Secondo caso: Per $alpha < 0$ cosa puoi dire? Calcola il limite $lim_(n -> oo) (n * log(n))/(n^alpha - 1)$...
Infine direi che per $alpha = 0$ non è ben definita (non ha senso studiare la convergenza per il valore $0$ del parametro).
La condizione necessaria per la convergenza di quella serie è violata non appena $1 - alpha >= 0$ (cioè $0 < alpha <= 1$ ). Essendo la serie a termini positivi si può dedurre che per questi valori $B$ diverge.
Per $1 - alpha < 0$ succede che è il termine generale è infinitesimo e quindi devi stabilire cosa accade utilizzando i criteri che conosci (puoi star sicuro che la serie è a termini di segno definitivamente costante).
Secondo caso: Per $alpha < 0$ cosa puoi dire? Calcola il limite $lim_(n -> oo) (n * log(n))/(n^alpha - 1)$...
Infine direi che per $alpha = 0$ non è ben definita (non ha senso studiare la convergenza per il valore $0$ del parametro).
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