Aiuto con una serie...
Salve a tutti,
avete mica idea di come risolvere questa serie?
$sum_{n=1}^infty n^2sin(1/e^n)$
avete mica idea di come risolvere questa serie?
$sum_{n=1}^infty n^2sin(1/e^n)$
Risposte
Ok, forse ho risolto:
$n^2sin(1/e^n)$
$n^2*sin(1/e^n)/(1/e^n)*1/e^n$
con $1/e^n$ tendente a 0 si usa il limite $sin(x)/x = 1$ e diventa
$n^2/e^n$ e da qui dovrebbe essere abbastanza facile applicare il criterio della radice, vi torna?
$n^2sin(1/e^n)$
$n^2*sin(1/e^n)/(1/e^n)*1/e^n$
con $1/e^n$ tendente a 0 si usa il limite $sin(x)/x = 1$ e diventa
$n^2/e^n$ e da qui dovrebbe essere abbastanza facile applicare il criterio della radice, vi torna?
Direi che è un buon metodo!
Ciao sto cercando anche io di fare qualcosa con queste serie ma non mi stanno tanto simpatiche! Io ho provato così
$sum_{n=1}^infty n^2sin(1/e^n)$
ho provato con il confronto asintotico e sono arrivato allo stesso risultato di stroustrup quindi con $n^2/e^n$
poi sono andato avanti con il criterio del rapporto e dunque $lim_(n->infty)(n+1)^2/e^(n+1) * e^n/n^2$ e quindi $1/e lim_(n->infty) n^2/n^2$
dunque il risultato finale dovrebbe essere $1/e$, che è finito e minore di $1$
ti trovi stroustrup?
$sum_{n=1}^infty n^2sin(1/e^n)$
ho provato con il confronto asintotico e sono arrivato allo stesso risultato di stroustrup quindi con $n^2/e^n$
poi sono andato avanti con il criterio del rapporto e dunque $lim_(n->infty)(n+1)^2/e^(n+1) * e^n/n^2$ e quindi $1/e lim_(n->infty) n^2/n^2$
dunque il risultato finale dovrebbe essere $1/e$, che è finito e minore di $1$
ti trovi stroustrup?
Sì, anche, io ho continuato diversamente però:
arrivato a $n^2/e^n$ ho applicato il criterio della radice e quindi
$(n^2/e^n)^(1/n) = n^(2/n)/e^(n/n)$ che tende a $1/e<1$ quindi converge, giusto?
arrivato a $n^2/e^n$ ho applicato il criterio della radice e quindi
$(n^2/e^n)^(1/n) = n^(2/n)/e^(n/n)$ che tende a $1/e<1$ quindi converge, giusto?
Pare di si
A rigore, le cose stanno così: considerando la serie $sum_(n)^(+oo) n^2/e^n$ ed osservando che:
$lim_(n->+oo) (n^2sin(1/e^n))/(n^2/e^n)=1$
(in virtù del limite notevole di cui sopra...) possiamo affermare che, per il criterio del confronto asintotico, le due serie considerate hanno il medesimo carattere (ci è dato usare tale criterio poichè ambo le serie sono a termini di segno costante).
Quindi, passando allo studio della nuova serie, ci si accorge che si arriva ad una conclusione sia con il criterio del rapporto, sia con il criterio della radice... Tale conclusione è, come giustamente detto, la convergenza.
$lim_(n->+oo) (n^2sin(1/e^n))/(n^2/e^n)=1$
(in virtù del limite notevole di cui sopra...) possiamo affermare che, per il criterio del confronto asintotico, le due serie considerate hanno il medesimo carattere (ci è dato usare tale criterio poichè ambo le serie sono a termini di segno costante).
Quindi, passando allo studio della nuova serie, ci si accorge che si arriva ad una conclusione sia con il criterio del rapporto, sia con il criterio della radice... Tale conclusione è, come giustamente detto, la convergenza.
Grazie della conferma Dorian!
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