Aiuto con una serie
Salve! Mi servirebbe una mano nello scoprire se questa serie converge o meno, in quanto il libro dice che converge, ma a me diverge.
$ sum_(n =1)(n-sin(n))(1/n-sin(1/n)) $
per prima cosa ho cercato di minorare la successione dentro la sommatoria, considerando che la funzione seno possiede solo valori che variano fra $-1$ e $1$, ottengo
$ (n-1)(1/n-1)<=(n-sin(n))(1/n-sin(1/n)) $
ora provo a fare il limite del membro a sinistra all'infinito ed ottengo
$ lim_{n \to \infty}(1-n^2+2n)/n=\infty $
quindi la serie dovrebbe divergere per il fatto che non viene rispettata la condizione necessaria per la convergenza e che sia definitivamente positiva, e quindi per il teroema del confronto diverge anche la serie iniziale.
In seconda battuta ho provato pure ad usare taylor, facendo il cambio di variabile $t=1/n$, così da poter fare lo sviluppo centrato in zero, e sviluppando fino al terzo ordine, ottenendo
$ (1/t-1/t+1/(6t^3)-1/(120t^5)+o(t^{-5}))(t-t+t^3/6-t^5/120+o(t^5)) $
e sviluppando il tutto ottengo
$ -t^2/720-1/(720t^2)+o(t^-2) $
e se raccolgo $t^-2$ e faccio il limite in zero ottengo che il tutto tende a $\infty$ e quindi non viene rispettata la condizione necessaria per la convergenza, ergo (considerando che è a termini positivi) diverge
Dove sbaglio?
Grazie mille a chiunque mi aiuterà
$ sum_(n =1)(n-sin(n))(1/n-sin(1/n)) $
per prima cosa ho cercato di minorare la successione dentro la sommatoria, considerando che la funzione seno possiede solo valori che variano fra $-1$ e $1$, ottengo
$ (n-1)(1/n-1)<=(n-sin(n))(1/n-sin(1/n)) $
ora provo a fare il limite del membro a sinistra all'infinito ed ottengo
$ lim_{n \to \infty}(1-n^2+2n)/n=\infty $
quindi la serie dovrebbe divergere per il fatto che non viene rispettata la condizione necessaria per la convergenza e che sia definitivamente positiva, e quindi per il teroema del confronto diverge anche la serie iniziale.
In seconda battuta ho provato pure ad usare taylor, facendo il cambio di variabile $t=1/n$, così da poter fare lo sviluppo centrato in zero, e sviluppando fino al terzo ordine, ottenendo
$ (1/t-1/t+1/(6t^3)-1/(120t^5)+o(t^{-5}))(t-t+t^3/6-t^5/120+o(t^5)) $
e sviluppando il tutto ottengo
$ -t^2/720-1/(720t^2)+o(t^-2) $
e se raccolgo $t^-2$ e faccio il limite in zero ottengo che il tutto tende a $\infty$ e quindi non viene rispettata la condizione necessaria per la convergenza, ergo (considerando che è a termini positivi) diverge
Dove sbaglio?
Grazie mille a chiunque mi aiuterà
Risposte
Taylor è usato male, poiché l'argomento del seno nel primo fattore non tende a $0$.
Lo sviluppo di Taylor, casomai, va usato solo nel secondo fattore.
Hai:
\[
\frac{1}{n} - \sin \frac{1}{n} \approx \frac{1}{6n^3}
\]
dunque:
\[
(n - \sin n)\left( \frac{1}{n} - \sin \frac{1}{n}\right)\approx \frac{n - \sin n}{6n^3}
\]
e da qui concludi usando il confronto asintotico (cosa fattibile, perché la serie è a termini positivi).
Lo sviluppo di Taylor, casomai, va usato solo nel secondo fattore.
Hai:
\[
\frac{1}{n} - \sin \frac{1}{n} \approx \frac{1}{6n^3}
\]
dunque:
\[
(n - \sin n)\left( \frac{1}{n} - \sin \frac{1}{n}\right)\approx \frac{n - \sin n}{6n^3}
\]
e da qui concludi usando il confronto asintotico (cosa fattibile, perché la serie è a termini positivi).
"gugo82":
Taylor è usato male, poiché l'argomento del seno nel primo fattore non tende a $0$.
Lo sviluppo di Taylor, casomai, va usato solo nel secondo fattore.
Hai:
\[
\frac{1}{n} - \sin \frac{1}{n} \approx \frac{1}{6n^3}
\]
dunque:
\[
(n - \sin n)\left( \frac{1}{n} - \sin \frac{1}{n}\right)\approx \frac{n - \sin n}{6n^3}
\]
e da qui concludi usando il confronto asintotico (cosa fattibile, perché la serie è a termini positivi).
Grazie mille per il chiarimento! Comunque avrei ancora un paio di dubbi, in primo luogo quel limite che ti sei ricavato non si dovrebbe sempre risolvere con Taylor (o meglio, si potrebbe minorare e maggiorare il seno e risolvere per confronto, ma si potrebbe risolvere con taylor?)? Inoltre il primo metodo che ho proposto (con confronto) dove erra?
"ThisMan":
[...] avrei ancora un paio di dubbi, in primo luogo quel limite che ti sei ricavato non si dovrebbe sempre risolvere con Taylor (o meglio, si potrebbe minorare il seno e risolvere per confronto, ma si potrebbe risolvere con taylor?)?
Quale limite? Non ti seguo...
"ThisMan":
Inoltre il primo metodo che ho proposto (con confronto) dove erra?
Beh qui:
"ThisMan":
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1-n^2+2n}{n}= {\color{red}\mathbf{-}}\infty
\]
quindi il confronto non ti dice alcunché di significativo.
"gugo82":
[quote="ThisMan"][...] avrei ancora un paio di dubbi, in primo luogo quel limite che ti sei ricavato non si dovrebbe sempre risolvere con Taylor (o meglio, si potrebbe minorare il seno e risolvere per confronto, ma si potrebbe risolvere con taylor?)?
Quale limite? Non ti seguo...
[/quote]
In effetti non mi sono spiegato bene, intendo dire che se volessi valutare il criterio di Cauchy nella successione che è asintoticamente equivalente potrei usare taylor sviluppando solo il numeratore oppure no?
Il fatto che non sia possibile mi spiegherebbe molte cose
.
"gugo82"}
[quote="ThisMan":
Inoltre il primo metodo che ho proposto (con confronto) dove erra?
Beh qui:
"ThisMan":
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1-n^2+2n}{n}= {\color{red}\mathbf{-}}\infty \]
quindi il confronto non ti dice alcunché di significativo.[/quote]
Il fatto che tenda a meno infinito non implica che sia definitivamente a termini negativi (non c'è nulla che fa presagire che la serie sia indeterminata, dopotutto è asintoteticamente equivalente a $-n$), ergo il fatto che quella successione converga a meno infinito non implica che la serie diverga?
Comunque per arrivare alla soluzione finale partendo dalla tua correzione
$ (n-sin(n))/(6n^3)<(n+1)/(6n^3) \approx 1/n^2 $
che convege. Giusto?
up
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Ripeto: hai trovato una minorante che diverge negativamente, e ciò non ti serve a nulla (dato che la serie originaria è a termini positivi).
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