Aiuto con una disequazione
Ciao a tutti, ho dei problemi a trattare una disequazione.
Dato $ x \in [0,1] $ , la disequazione
$ 0<=x + 1/2 x(1-x)(theta_1-theta_2)<=1 $
è verificata se $ |theta_1-theta_2|<=2 $.
Come si giunge a questa conclusione? Ho provato a fare i calcoli,
ma a me sembra che anche imponendo $ |theta_1-theta_2|<=2 $,
la disequazione non sia minore o uguale a 1.
Inoltre perché bisogna considerare il valore assoluto?
Grazie
Dato $ x \in [0,1] $ , la disequazione
$ 0<=x + 1/2 x(1-x)(theta_1-theta_2)<=1 $
è verificata se $ |theta_1-theta_2|<=2 $.
Come si giunge a questa conclusione? Ho provato a fare i calcoli,
ma a me sembra che anche imponendo $ |theta_1-theta_2|<=2 $,
la disequazione non sia minore o uguale a 1.
Inoltre perché bisogna considerare il valore assoluto?
Grazie
Risposte
"Marthy_92":
Dato $ x \in [0,1] $ , la disequazione
$ 0<=x + 1/2 x(1-x)(theta_1-theta_2)<=1 $
è verificata se $ |theta_1-theta_2|<=2 $.
Come si giunge a questa conclusione?
In modo molto ma molto stringato:
sllg, $x\le\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}x(1-x)\le\frac{1}{2}x$
Quindi
$ |theta_1-theta_2|<=2 $
Potrai riempire i buchi.
Ciao Marthy_92,
La disequazione proposta è la seguente:
$0 <= x + 1/2 x(1-x)(theta_1-theta_2) <= 1 $
Ora, siccome per ipotesi $x \in [0, 1] $, per essere certi di avere a che fare con quantità positive per comodità poniamo $t := |\theta_1 - \theta_2| >= 0 $, sicché la disequazione proposta si può riscrivere nella forma seguente:
$0 <= x + 1/2 x(1-x)t <= 1 $
Nel caso $t = 0 \iff \theta_ 1 = \theta_2 $ si ritrova la limitazione $0 <= x <= 1 $ dell'ipotesi, quindi $t = 0 $ è senz'altro un valore ammissibile. Per $t > 0 $ la parte di destra della disequazione proposta si può riscrivere nella forma seguente:
$tx^2 - (t + 2)x + 2 >= 0 $
Si tratta di una disequazione parametrica di secondo grado. L'equazione parametrica associata è la seguente:
$tx^2 - (t + 2)x + 2 = 0 $
avente soluzioni
$ x_{1,2} = (t + 2 \pm sqrt(t^2 + 4t + 4 - 8t))/(2t) = (t + 2 +- sqrt(t^2 - 4t + 4))/(2t) = (t + 2 \pm (t - 2))/(2t) $
cioè
$x_1 = 1 $
$ x_2 = 2/t $
Ora la regola dice che il trinomio prende il segno del coefficiente del primo termine $t > 0 $ negli intervalli esterni alle due soluzioni ottenute, ma $x_1 = 1 $ è costante, mentre $x_2 = 2/t $ dipende da $t$ quindi si hanno i due casi seguenti:
1) per $ 0 < t <= 2 $ la disequazione è verificata per $ x <= 1 \vv x >= 2/t $;
2) per $ t > 2 $ la disequazione è verificata per $ x < 2/t \vv x > 1 $
Siccome per ipotesi si sa che $x \in [0,1] $, la seconda opzione dei due casi (quella dopo il $\vv $) in realtà non è accettabile.
La disequazione proposta è la seguente:
$0 <= x + 1/2 x(1-x)(theta_1-theta_2) <= 1 $
Ora, siccome per ipotesi $x \in [0, 1] $, per essere certi di avere a che fare con quantità positive per comodità poniamo $t := |\theta_1 - \theta_2| >= 0 $, sicché la disequazione proposta si può riscrivere nella forma seguente:
$0 <= x + 1/2 x(1-x)t <= 1 $
Nel caso $t = 0 \iff \theta_ 1 = \theta_2 $ si ritrova la limitazione $0 <= x <= 1 $ dell'ipotesi, quindi $t = 0 $ è senz'altro un valore ammissibile. Per $t > 0 $ la parte di destra della disequazione proposta si può riscrivere nella forma seguente:
$tx^2 - (t + 2)x + 2 >= 0 $
Si tratta di una disequazione parametrica di secondo grado. L'equazione parametrica associata è la seguente:
$tx^2 - (t + 2)x + 2 = 0 $
avente soluzioni
$ x_{1,2} = (t + 2 \pm sqrt(t^2 + 4t + 4 - 8t))/(2t) = (t + 2 +- sqrt(t^2 - 4t + 4))/(2t) = (t + 2 \pm (t - 2))/(2t) $
cioè
$x_1 = 1 $
$ x_2 = 2/t $
Ora la regola dice che il trinomio prende il segno del coefficiente del primo termine $t > 0 $ negli intervalli esterni alle due soluzioni ottenute, ma $x_1 = 1 $ è costante, mentre $x_2 = 2/t $ dipende da $t$ quindi si hanno i due casi seguenti:
1) per $ 0 < t <= 2 $ la disequazione è verificata per $ x <= 1 \vv x >= 2/t $;
2) per $ t > 2 $ la disequazione è verificata per $ x < 2/t \vv x > 1 $
Siccome per ipotesi si sa che $x \in [0,1] $, la seconda opzione dei due casi (quella dopo il $\vv $) in realtà non è accettabile.
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