Aiuto con un passaggio per ottenere il rango

[oslinux]

Ciao a tutti!

Mi trovo alle prese con un esercizio del tipo "determinare un numero dal quale la serie valga meno di ***", l'esercizio è già in buona parte svolto ma non riesco a capire un passaggio:



si determini n0 tale che se n>=n0 allora:
\(\displaystyle
(n+1)^{1/3}-n^{1/3}<0,001\\\\

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\\\

(a-b)=\frac {a^3-b^3}{(a^2+ab+b^2)}\\\\

\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}=\frac {(n+1)-n} {\sqrt[3]{(n+1)^2}+\sqrt[3]{(n+1)n}+\sqrt[3]{(n)^2}}\\\\

\frac {1} {\sqrt[3]{(n+1)^2}+\sqrt[3]{(n+1)n}+\sqrt[3]{(n)^2}}<\frac{1}{3\sqrt[3]{n^2}}\\\\

\frac{1}{3\sqrt[3]{n^2}} < 0,001

\)

perché è stato scelto \(\displaystyle \frac{1}{3\sqrt[3]{n^2}} \), e come si arriva a questa scelta?

Grazie!

Luca

[Seneca1]

Per semplicità. Infatti dall'ultima disequazione puoi trovarti un $n_0$ che va bene.

[oslinux]

ok siamo d'accordo, però (E so benissimo che sono cieco) non riesco a capire come fa ad essere evidente che quella sia sempre maggiore, e perché il fattore 3?

[Seneca1]

Perché \( \sqrt[3]{n^2} < \sqrt[3]{n ( n + 1) }\) e \( \sqrt[3]{n^2} < \sqrt[3]{( n + 1)^2 }\). Quindi maggiora quella frazione minorando il denominatore nella seguente maniera:
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{n ( n + 1) } + \sqrt[3]{( n + 1)^2 } + \sqrt[3]{n^2}} < \frac{1}{\sqrt[3]{n^2} + \sqrt[3]{n^2} + \sqrt[3]{n^2}} \; .\]
Ti è chiaro?

[oslinux]

Perfettamente!! Grazie mille