Aiuto con un esercizio difficile
Buon giorno!
Sto provando a cimentarmi con degli esercizi di analisi...ma mi sono imbattuta in questo:
Sia I = (-1,0).
Si consideri l'equazione
$ int_(1)^(x) 2^t/(1+t) $ = -x
Stabilire il numero di soluzioni di tale equazioni nell'intervallo I.
Non so nemmeno da dove iniziare! Chi mi può aiutare?
Sto provando a cimentarmi con degli esercizi di analisi...ma mi sono imbattuta in questo:
Sia I = (-1,0).
Si consideri l'equazione
$ int_(1)^(x) 2^t/(1+t) $ = -x
Stabilire il numero di soluzioni di tale equazioni nell'intervallo I.
Non so nemmeno da dove iniziare! Chi mi può aiutare?
Risposte
Devi trovare il numero degli zeri della funzione
$f(x) = x + \int_1^x \frac{2^t}{1+t} dt$
nell'intervallo $(-1, 0)$.
Una possibilità è andare a calcolare i limiti agli estremi di tale intervallo e poi studiare la monotonia della funzione.
$f(x) = x + \int_1^x \frac{2^t}{1+t} dt$
nell'intervallo $(-1, 0)$.
Una possibilità è andare a calcolare i limiti agli estremi di tale intervallo e poi studiare la monotonia della funzione.
Allora vediamo se ho capito...
calcolo il limite per x che tende a -1 e per x che tende a 0 di f(x) così come l'hai definita tu?
Però poi dovrei calcolare un limite che non so risolvere...non credo si integri bene.
Per la monotonia della funzione ok ci sono...effettivamente $2^t /(1+t)$ è monotona strettamente decrescente in I...quindi se trovo uno zero è unico...giusto?
calcolo il limite per x che tende a -1 e per x che tende a 0 di f(x) così come l'hai definita tu?
Però poi dovrei calcolare un limite che non so risolvere...non credo si integri bene.
Per la monotonia della funzione ok ci sono...effettivamente $2^t /(1+t)$ è monotona strettamente decrescente in I...quindi se trovo uno zero è unico...giusto?
In realtà, se il testo è corretto, l'esercizio è ancora più facile del previsto.
Infatti non dovresti avere difficoltà a stabilire quale sia il segno di $f(x)$ per $x\in (-1, 0)$, anche senza calcolare esplicitamente l'integrale.
Infatti non dovresti avere difficoltà a stabilire quale sia il segno di $f(x)$ per $x\in (-1, 0)$, anche senza calcolare esplicitamente l'integrale.
Scusa ma non riesco a capire come O.O
Fissa $x\in (-1, 0)$.
$f(x)$ è la somma di due termini; riesci a stabilire che segno ha ciascuno di essi?
$f(x)$ è la somma di due termini; riesci a stabilire che segno ha ciascuno di essi?
Allora il primo termine, x, è negativo...l'integrale invece dovrebbe essere l'integrale di qualcosa di positivo...sbaglio?
La funzione è positiva per $t > -1$; guarda però come sono messi gli estremi di integrazione.
Ok sono proprio tonta -.- hai ragione...scambio gli estremi e quindi mi viene un meno davanti a tutto...in definitiva è tutto negativo e quindi non ci sono soluzioni in quell'intervallo! Grazie mille!
Prima avevo provato a fare una argomentazione tramite le derivate...ed effettivamente mi usciva che non ci sono soluzioni...però non ero certa fosse un ragionamento corretto....
nel senso...avevo lasciato il tutto in forma di contrazione come g(x) = x e avevo derivato....derivando e valutando in quell'intervallo arrivavo ad avere un log di un valore negativo...poteva andare???
Prima avevo provato a fare una argomentazione tramite le derivate...ed effettivamente mi usciva che non ci sono soluzioni...però non ero certa fosse un ragionamento corretto....
nel senso...avevo lasciato il tutto in forma di contrazione come g(x) = x e avevo derivato....derivando e valutando in quell'intervallo arrivavo ad avere un log di un valore negativo...poteva andare???
Non ho capito cosa avevi fatto; comunque, il solo confronto delle derivate, se non si fissa (o stima) il valore in almeno un punto delle funzioni, non serve a molto.
Ho derivato ambo i membri di $int_(1)^(x)2^t/(1+t) = -x $ ottenendo
$2^x/(1+x) = -1$ così doveva essere $x = log_(2)(-x-1) $
ma la retta -1-x in I è negativa e quindi arrivavo ad un assurdo....però effettivamente più ci penso più mi convinco di aver detto una grossa cavolata!
Grazie mille dell'aiuto!
$2^x/(1+x) = -1$ così doveva essere $x = log_(2)(-x-1) $
ma la retta -1-x in I è negativa e quindi arrivavo ad un assurdo....però effettivamente più ci penso più mi convinco di aver detto una grossa cavolata!
Grazie mille dell'aiuto!
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