Aiuto con un' equazione

[Sk_Anonymous]

Ciao a tutti
Mi è chiesto di ricavare E dalla seguente equazione:

$ \sqrt(2m(V_0-E))/h+\sqrt(-2mE)/h=\frac{2m\alpha}{h^2} $

Tuttavia sono un po' confusa su come fare. Ho elevato al quadrato entrambi i membri ma non mi sembra un'idea molto furba.
Qualcuno ha qualche suggerimento?
Grazie

[Weierstress]

Ciao. Supponendo che sia un problema puramente algebrico e che i vari parametri non siano legati tra loro da nessuna relazione, a occhio (non ho svolto i calcoli) elevare al quadrato un paio di volte (isolando le radici) dovrebbe sistemarla. Certo, devi smanettare un pochino...

[pilloeffe]

Ciao Nattramn16,

Prima di tutto moltiplicherei tutto per $h/sqrt{2}$ ottenendo l'equazione seguente:

$\sqrt(m(V_0-E)) + \sqrt(-mE) =\frac{sqrt{2}m\alpha}{h} $

Elevando al quadrato:

$m(V_0-E) -mE + 2sqrt{-m^2E(V_0 - E)} =\frac{2m^2\alpha^2}{h^2} $

cioè

$mV_0 - 2mE + 2sqrt{-m^2E(V_0 - E)} = \frac{2m^2\alpha^2}{h^2} $

Isolando la radice quadrata superstite si ha:

$2sqrt{-m^2E(V_0 - E)} = \frac{2m^2\alpha^2}{h^2} + 2mE - mV_0$

Dividendo per $2$ si ha:

$sqrt{-m^2E(V_0 - E)} = \frac{m^2\alpha^2}{h^2} + mE - frac{mV_0}{2}$

Elevando ancora al quadrato si ha:

$-m^2E(V_0 - E) = \frac{m^4\alpha^4}{h^4} + m^2E^2 + frac{m^2V_0^2}{4} + 2\frac{m^3\alpha^2 E}{h^2} - \frac{m^3\alpha^2 V_0}{h^2} - m^2 E V_0$
$-m^2EV_0 +m^2 E^2 = \frac{m^4\alpha^4}{h^4} + m^2E^2 + frac{m^2V_0^2}{4} + 2\frac{m^3\alpha^2 E}{h^2} - \frac{m^3\alpha^2 V_0}{h^2} - m^2 E V_0$
$0 = \frac{m^4\alpha^4}{h^4} + frac{m^2V_0^2}{4} + 2\frac{m^3\alpha^2 E}{h^2} - \frac{m^3\alpha^2 V_0}{h^2} $
$- 2\frac{m^3\alpha^2 E}{h^2} = \frac{m^4\alpha^4}{h^4} + frac{m^2V_0^2}{4} - \frac{m^3\alpha^2 V_0}{h^2} $

Moltiplicando tutto per $4h^4$ si ha:

$- 8 h^2 m^3\alpha^2 E = 4m^4\alpha^4 + h^4 m^2V_0^2 - 4h^2 m^3\alpha^2 V_0 $

Dividendo tutto per $m^2$ si ha:

$- 8 h^2 m\alpha^2 E = 4m^2\alpha^4 + h^4 V_0^2 - 4h^2 m \alpha^2 V_0 $
$- 8 h^2 m\alpha^2 E = (2\alpha^2 m - h^2 V_0)^2 $

Quindi, in definitiva:

$E = - frac{(2\alpha^2 m - h^2 V_0)^2}{8\alpha^2 h^2 m} $

Controlla i conti perché può essere che abbia commesso qualche errore...

[Weierstress]

Beh, intendevo proprio questo. Certo, pilloeffe è stato un filo più esplicito...

[Sk_Anonymous]

Grazie moltissime a tutti e due.
Ahaha si, ho rischiato seriamente di incasinarmi e pensavo che ci fosse qualche cosa che mi stessi perdendo nell'algebra...