Aiuto con Taylor

[Gmork]

Ho quest'esercizio in cui mi si viene chiesto di stabilire l'ordine di infinitesimo della seguente funzione quando $x\to 0$

$g(x)=3\sin x-3x-x^3$

ho provato a sviluppare attraverso polinomio di Taylor la funzione $\sin x$ ma non mi porta a nessun risultato. Ciò che mi confonde in particolar modo è quel $x^3$ alla fine.

Qualche suggerimento?

[regim]

Dividi per $x^3$ e fai il limite... è finito!

[Gmork]

e quindi trattare $3\sin x-3x$ come $3(-\frac{x^3}{3})$ ?

[regim]

Ho applicato de l'hopital alla $3*(sin(x) - x)/x^3$.

[Gmork]

Non capisco dove si arriva in questo modo. Cioè: applico de l'hopital ma arrivo a $\frac{3(\cos x-1)-3x^2}{3x^2}\sim \frac{3(-x+\frac{x^2}{2})}{3x^2}-1$

[regim]

Se lo applichi ancora una volta sulla nuova funzione, sei arrivato.

[Gmork]

Applicandolo di nuovo sono arrivato a $\frac{-3+3x}{6x}-1$ ed il limite per $x\to 0$ mi risulta essere $\-infty$ . A che conclusione arrivo?

[regim]

Se lo applichi allo sviluppo di Taylor allora dovresti applicarlo a tutte le potenze di $x$, datosi che la funzione somma della serie delle derivate è la derivata della funzione somma della serie iniziale, non puoi limitarti al secondo ordine, ma fortunatamente tutto questo non serve dal momento che la derivata del coseno la conosciamo.

[Gmork]

Si ma se applico de L'Hospital a $\frac{3(\cos x-1)-3x^2}{3x^2}$ ottengo $\frac{-3\sin x-6x}{6x}\to -3/2$ se non sbaglio, giusto?

[regim]

Si $-1/2 -1 = -3/2$ e' corretto.

[Gmork]

Ah quindi essendo venuto un limite diverso da zero $g(x)$ è dello styesso ordine di $x^3$, ossia $3$

[regim]

Che io mi ricordi la definizione è quella!

[Gmork]

Grazie 1000 per l'aiuto!