Aiuto con serie parametriche

[ognogud]

Salve a tutti, devo dare analisi 1 il 15 luglio, nel compito della scorsa sezione c'erano i seguenti esercizi (li carico come immagine perché ho difficoltà nello scriverli).

Io pensavo per prima cosa i studiare la condizione necessaria ma già mi blocco nello scegliere i valori di alfa...aiuti? Vi ringrazio!

[21zuclo]

Allora posta qualche tuo tentativo, giusto o sbagliato che sia!

Poi siccome sei nuovo (a quanto vedo) ti invito a leggere qui ti spiega come scrivere le formule matematiche.

Un consiglio, già dalla prima serie inizia a dividere per casi il tuo $a\in RR$

[MasterCud]

Provo a darti un ulteriore suggerimento...per svolgere questi esercizi fai riferimento alle serie armoniche generalizzate ovvero quelle del tipo : $ sum(1/n^a) $ se a>1 converge altrimenti la serie diverge...non conviene utilizzare criteri particolari penso che con il confronto tela possa cavare benissimo.

[ognogud]

Dunque ho provato ad andare per casi. Tuttavia anche qui inizio ad avere dei dubbi, ovvero, quali intervalli devo considerare? Ho considerato ad esempio i casi di a>2/3 e a<2/3 ma la condizione necessaria mi risulta sempre verificata e questo mi sembra molto strano. A questo punto ho tentato comunque un confronto asintotico con la serie armonica 1/n^2 (chiedo di nuovo venia per la scrittura ma mi sto arrangiando con un telefono) ma non sono riuscito a capire come fare il calcolo del limite della frazione iniziale fratto questa serie armonica. Sintesi del tutto: sono in alto mare

[MasterCud]

provo a darti un mio pensiero non so se è giusto però...io lavoreri in questi termini:
1) $ n^a/n^(3a)=1/n^(2a) $ quindi converge per a [1,+inf]
2) $ n/n^a=1/n^(a-1) $ quindi per a> [3,+inf]

[lisacassidy]

Nel punto 1) é 1/n^(3a-1) non 1/n^(2a)

[MasterCud]

ma al numeratore non c'è n ma n^a

[lisacassidy]

Ah! Non so perché ma prima mi faceva vedere n e non n^a!

[ognogud]

"MasterCud":provo a darti un mio pensiero non so se è giusto però...io lavoreri in questi termini:
1) $ n^a/n^(3a)=1/n^(2a) $ quindi converge per a [1,+inf]
2) $ n/n^a=1/n^(a-1) $ quindi per a> [3,+inf]

Potresti spiegarmi il ragionamento che porta a ciò?

[MasterCud]

per n molto molto grandi gli elementi che vedi nella serie sono essenzialmente gli esponenziali, tendono a 0 o più infinito più velocemente, quindi non considero l'intera serie è una questione di ordini.

[ognogud]

Ok ma il confronto asintotico non prevedeva di dividere la funzione originale per quella approssimata e osservare il limite? Da quello che hai scritto hai controllato direttamente la convergenza sulla funzione approssimata (entrambe serie armoniche alle quali assegni i valori di modo che a sia maggiore o uguale a due). Mi sfugge qualcosa?