Aiuto con Serie Numeriche
Buonasera 
....ho bisogno di un aiuto per quanto riguarda le serie numeriche,in particolare capire se converge o diverge...ho alcuni esercizi ma non ho capito i passaggi da fare anche perchè discordanti tra loro... mi potete aiutare? questo è un esercizio:
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{n^4+n+7}{n^{4+x}+n^2+3n}$
....ho bisogno di un aiuto per quanto riguarda le serie numeriche,in particolare capire se converge o diverge...ho alcuni esercizi ma non ho capito i passaggi da fare anche perchè discordanti tra loro... mi potete aiutare? questo è un esercizio:$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{n^4+n+7}{n^{4+x}+n^2+3n}$
Risposte
Ciao Valemix,
Beh, converge per $x > 1 $
Beh, converge per $x > 1 $
"pilloeffe":
Ciao Valemix,
Beh, converge per $x > 1 $
si,però volevo sapere i passaggi da fare per studiarne il carattere e la convergenza,ad esempio in altri esercizi vengono usati i limiti,in questo non vengono usati?
Affinché la serie converga è necessario che $\lim_{n \to +\infty} a_n(x) = 0 $, e questo accade se e solo se $x > 0 $
D'altronde per $n \to +\infty $ la serie proposta si comporta come la serie seguente:
$ \sum_{n=1}^\infty\frac{n^4}{n^{4+x}} = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^x} = \zeta(x) $
L'ultima serie scritta converge per $ x > 1 $
D'altronde per $n \to +\infty $ la serie proposta si comporta come la serie seguente:
$ \sum_{n=1}^\infty\frac{n^4}{n^{4+x}} = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^x} = \zeta(x) $
L'ultima serie scritta converge per $ x > 1 $
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