Aiuto con serie di funzioni
Buongiorno, ho un esercizio sulle serie di funzioni che proprio non so come risolvere...sono in crisi...
La serie "incriminata" è la seguente:
$\sum_(n=0) ^(+\infty) ("Sin"(4^nx))/2^n$
Devo determinare $E={x in RR : " la serie converge in " x}$, cioè a quanto ho capito l'insieme in cui converge puntualmente.
Ho pensato a due strade percorribili, una trattandola come serie di funzioni, e l'altra sviluppando il seno e studiando la serie di potenze:
1)Come serie di funzioni:
Il dominio per la x è tutto $RR$
Applicando l'M-test risulta $|("Sin"(4^nx))/2^n|<1/2^n$ (essendo sempre $-1<"Sin"(4^nx)<1$), quindi la serie converge totalmente su tutto $RR$, e ciò implica la convergenza puntuale.
Risposta $E=RR$
2)Sviluppando il seno
$"Sin"(4^nx)=\sum_(n=0) ^(+\infty) (-1)^n*(2^(2n(2n+1)))/(2^n*(2n+1)!) (x^(2n+1))$
E' una serie di Leibnitz, e dunque converge puntualmente.
Per cercare il raggio di convergenza posso usare la sua definizione, quindi devo calcolare $(| (2^(2n(2n+1)))/(2^n*(2n+1)!) (x^(2n+1))|)^(1/n)$ e porlo <1
Così facendo ottengo $lim_(n->+\infty)(4^(2n+1))/(2 ((2n+1)!)^(1/n)) x^(2+1/n)<1$, ed è sempre verificato perchè il limite vale zero.
Risposta $E=RR$
Ho molti dubbi su quello che ho fatto, secondo voi è giusto? o almeno "salvabile"?
La serie "incriminata" è la seguente:
$\sum_(n=0) ^(+\infty) ("Sin"(4^nx))/2^n$
Devo determinare $E={x in RR : " la serie converge in " x}$, cioè a quanto ho capito l'insieme in cui converge puntualmente.
Ho pensato a due strade percorribili, una trattandola come serie di funzioni, e l'altra sviluppando il seno e studiando la serie di potenze:
1)Come serie di funzioni:
Il dominio per la x è tutto $RR$
Applicando l'M-test risulta $|("Sin"(4^nx))/2^n|<1/2^n$ (essendo sempre $-1<"Sin"(4^nx)<1$), quindi la serie converge totalmente su tutto $RR$, e ciò implica la convergenza puntuale.
Risposta $E=RR$
2)Sviluppando il seno
$"Sin"(4^nx)=\sum_(n=0) ^(+\infty) (-1)^n*(2^(2n(2n+1)))/(2^n*(2n+1)!) (x^(2n+1))$
E' una serie di Leibnitz, e dunque converge puntualmente.
Per cercare il raggio di convergenza posso usare la sua definizione, quindi devo calcolare $(| (2^(2n(2n+1)))/(2^n*(2n+1)!) (x^(2n+1))|)^(1/n)$ e porlo <1
Così facendo ottengo $lim_(n->+\infty)(4^(2n+1))/(2 ((2n+1)!)^(1/n)) x^(2+1/n)<1$, ed è sempre verificato perchè il limite vale zero.
Risposta $E=RR$
Ho molti dubbi su quello che ho fatto, secondo voi è giusto? o almeno "salvabile"?
Risposte
1) ok.
2) ??? Se sviluppi il seno ottieni una serie a due indici... Ti pare il caso di complicare così le cose? Molto meglio quello che hai fatto al punto 1.
2) ??? Se sviluppi il seno ottieni una serie a due indici... Ti pare il caso di complicare così le cose? Molto meglio quello che hai fatto al punto 1.
Grazie Dissonance, in effetti il procedimento usato al punto 1 sembrava anche a me più semplice, ma il fatto che l'insieme di convergenza venidde tutto $RR$ non so perchè ma mi puzzava di errore 
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