Aiuto con scomposizione in fratte semplici
Ciao a tutti!
Studiando per l'esame di matematica 3 ci sono esercizi sulle antitrasformate di Laplace dove ho a che fare con delle scomposizioni in fratte semplici abbastanza lunghe utilizzando il metodo normale.
Vorrei sapere se c'è qualche metodo più rapido per questo tipo di scomposizione.
In particolare, ho frazioni da scomporre come:
\(\frac{(s^2)}{(s+1)(s+2)^3}\)
oppure
\(\frac{1}{(s)(s^2+4)^2} \)
che sviluppandoli con il metodo normale spreco più tempo con la scomposizione che con l'esercizio vero e proprio.
Qualcuno mi può dare qualche consiglio? Magari usando questi due esempi scritti sopra.
In rete ho trovato qualcosa (tipo il metodo degli zeri )ma comunque riguardano esercizi banali e non come questi due sopra abbastanza lunghi.
Grazie mille
Studiando per l'esame di matematica 3 ci sono esercizi sulle antitrasformate di Laplace dove ho a che fare con delle scomposizioni in fratte semplici abbastanza lunghe utilizzando il metodo normale.
Vorrei sapere se c'è qualche metodo più rapido per questo tipo di scomposizione.
In particolare, ho frazioni da scomporre come:
\(\frac{(s^2)}{(s+1)(s+2)^3}\)
oppure
\(\frac{1}{(s)(s^2+4)^2} \)
che sviluppandoli con il metodo normale spreco più tempo con la scomposizione che con l'esercizio vero e proprio.
Qualcuno mi può dare qualche consiglio? Magari usando questi due esempi scritti sopra.
In rete ho trovato qualcosa (tipo il metodo degli zeri )ma comunque riguardano esercizi banali e non come questi due sopra abbastanza lunghi.
Grazie mille
Risposte
Ad esempio:
$(s^2)/((s+1)(s+2)^2)=(A)/(s+1)+(B)/(s+2)+(C)/(s+2)^2= (A(s+2)^2+B(s+1)(s+2)+C(s+1))/((s+1)(s+2)^2)$
Quindi prendi il numeratore:
$A(s+2)^2+B(s+1)(s+2)+C(s+1)$
$=s^2(A+B)+s(4A+3B+C)+4A+2B+C$
Quindi il coefficiente di $s^2$, cioè $A+B$ deve essere uguale a 1 (perchè l'equazione originale ha $s^2$ al numeratore).
Il coefficiente di $s$ è uguale a zero come anche i termini di grado zero vanno messi uguali a zero.
Rimane un sistema con 3 eq. 3 incognite che va risolto per trovare A,B e C.
$(s^2)/((s+1)(s+2)^2)=(A)/(s+1)+(B)/(s+2)+(C)/(s+2)^2= (A(s+2)^2+B(s+1)(s+2)+C(s+1))/((s+1)(s+2)^2)$
Quindi prendi il numeratore:
$A(s+2)^2+B(s+1)(s+2)+C(s+1)$
$=s^2(A+B)+s(4A+3B+C)+4A+2B+C$
Quindi il coefficiente di $s^2$, cioè $A+B$ deve essere uguale a 1 (perchè l'equazione originale ha $s^2$ al numeratore).
Il coefficiente di $s$ è uguale a zero come anche i termini di grado zero vanno messi uguali a zero.
Rimane un sistema con 3 eq. 3 incognite che va risolto per trovare A,B e C.
"Quinzio":
Ad esempio:
$(s^2)/((s+1)(s+2)^2)=(A)/(s+1)+(B)/(s+2)+(C)/(s+2)^2= (A(s+2)^2+B(s+1)(s+2)+C(s+1))/((s+1)(s+2)^2)$
Quindi prendi il numeratore:
$A(s+2)^2+B(s+1)(s+2)+C(s+1)$
$=s^2(A+B)+s(4A+3B+C)+4A+2B+C$
Quindi il coefficiente di $s^2$, cioè $A+B$ deve essere uguale a 1 (perchè l'equazione originale ha $s^2$ al numeratore).
Il coefficiente di $s$ è uguale a zero come anche i termini di grado zero vanno messi uguali a zero.
Rimane un sistema con 3 eq. 3 incognite che va risolto per trovare A,B e C.
Ciao! Grazie per la risposta.
Hai usato il metodo normale a quanto vedo ovvero il principio d'identità dei polinomi.
Questo metodo va bene per frazioni come quella usata da te cioè con piccoli denominatori e con potenze con grado inferiori al secondo,
ho trovato quest'altra:
\(\frac{1}{(s+2)(s+3)^4} \)
pazzesca questa se la si fa con il principio d'identità dei polinomi.
Come si può svolgere in modo più veloce?
Grazie
Modi + veloci non ne conosco e penso che non ce ne siano.
Se fai i calcoli vedi che alla fine non si impazzisce.
Se fai i calcoli vedi che alla fine non si impazzisce.
Un metodo alternativo a quello di risolvere direttamente il sistema nelle incognite $A,B,C,D,...$ come spiegato da Quinzio è quello di riscrivere i numeratori delle due frazioni (quella nota e quella dipendente dai coefficienti) eguagliarli e andare a sostituire valori arbitrari alla variabile $s$. In generale, si inizia sostituendo le radici dei polinomi che decompongono il denominatore, così da semplificare i calcoli. Ad esempio se
$1/{(s+2)(s+3)^4}=A/{s+2}+B/{s+3}+C/{(s+3)^2}+D/{(s+3)^3}+E/{(s+3)^4}$
allora si ha
$1=A(s+3)^4+(s+2)[B(s+3)^3+C(s+3)^2+D(s+3)+E]$
E' facile verificare che sostitunedo $s=-2,\ s=-3$ rispettivamente, si ha $A=1,\ E=-1$. A questo punto, sostituendo altri valori arbitrari (ad esempio $s=0,\ s=1,\ s=-1$ si ottengono tre equazioni nelle incognite date dove sono già noti i valori di $A$ ed $E$.
$1/{(s+2)(s+3)^4}=A/{s+2}+B/{s+3}+C/{(s+3)^2}+D/{(s+3)^3}+E/{(s+3)^4}$
allora si ha
$1=A(s+3)^4+(s+2)[B(s+3)^3+C(s+3)^2+D(s+3)+E]$
E' facile verificare che sostitunedo $s=-2,\ s=-3$ rispettivamente, si ha $A=1,\ E=-1$. A questo punto, sostituendo altri valori arbitrari (ad esempio $s=0,\ s=1,\ s=-1$ si ottengono tre equazioni nelle incognite date dove sono già noti i valori di $A$ ed $E$.
"ciampax":
Un metodo alternativo a quello di risolvere direttamente il sistema nelle incognite $A,B,C,D,...$ come spiegato da Quinzio è quello di riscrivere i numeratori delle due frazioni (quella nota e quella dipendente dai coefficienti) eguagliarli e andare a sostituire valori arbitrari alla variabile $s$. In generale, si inizia sostituendo le radici dei polinomi che decompongono il denominatore, così da semplificare i calcoli. Ad esempio se
$1/{(s+2)(s+3)^4}=A/{s+2}+B/{s+3}+C/{(s+3)^2}+D/{(s+3)^3}+E/{(s+3)^4}$
allora si ha
$1=A(s+3)^4+(s+2)[B(s+3)^3+C(s+3)^2+D(s+3)+E]$
E' facile verificare che sostitunedo $s=-2,\ s=-3$ rispettivamente, si ha $A=1,\ E=-1$. A questo punto, sostituendo altri valori arbitrari (ad esempio $s=0,\ s=1,\ s=-1$ si ottengono tre equazioni nelle incognite date dove sono già noti i valori di $A$ ed $E$.
Ciao! Grazie per la risposta
Ok, fino a come hai fatto a trovare A ed E mi trovo.
Dopo, quando dici di sostituire altri valori arbitrari, dici che si ottengono tre equazioni.
Queste tre equazioni formano un sistema? Ho provato a metterle a sistema in modo da trovare le altre 3 incognite.
Inoltre perchè hai scelto proprio 0, 1 e -1 come valori arbitrari?
Grazie
"Quinzio":
Modi + veloci non ne conosco e penso che non ce ne siano.
Se fai i calcoli vedi che alla fine non si impazzisce.
Beh, un calcolo del genere in un compito occupa moltissimo tempo! Perciò sto cercando qualcosa di più rapido
Se non sbaglio ci sarebbe la formula di Hermite, ma onestamente non so se ne valga la pena....
"lordb":
Se non sbaglio ci sarebbe la formula di Hermite, ma onestamente non so se ne valga la pena....
Ciao! Sisi, lo vidi su wikipedia ma a primo impatto mi sembrò una cosa mostruosa e ci rinunciai
Il metodo postato da ciampax sembra che l'ho capito!
Ed è ottimo!
Attendo solo che mi risponda agli ultimi dubbi postati sopra per dichiarare che ho capito il metodo
"DeAndreon":
Ciao! Grazie per la risposta
Ok, fino a come hai fatto a trovare A ed E mi trovo.
Dopo, quando dici di sostituire altri valori arbitrari, dici che si ottengono tre equazioni.
Queste tre equazioni formano un sistema? Ho provato a metterle a sistema in modo da trovare le altre 3 incognite.
Inoltre perchè hai scelto proprio 0, 1 e -1 come valori arbitrari?
Grazie
Ovvio che formino un sistema: devi ancora trovare i valori di $B,C,D$. La scelta è fatta a caso: avrei potuto mettere $s=100$ ma sarebbero venuti numeracci odiosi! (P.S.: nel sstema ricordati pure di sostituire i valori di $A,E$).
"ciampax":
[quote="DeAndreon"]
Ciao! Grazie per la risposta
Ok, fino a come hai fatto a trovare A ed E mi trovo.
Dopo, quando dici di sostituire altri valori arbitrari, dici che si ottengono tre equazioni.
Queste tre equazioni formano un sistema? Ho provato a metterle a sistema in modo da trovare le altre 3 incognite.
Inoltre perchè hai scelto proprio 0, 1 e -1 come valori arbitrari?
Grazie
Ovvio che formino un sistema: devi ancora trovare i valori di $B,C,D$. La scelta è fatta a caso: avrei potuto mettere $s=100$ ma sarebbero venuti numeracci odiosi! (P.S.: nel sstema ricordati pure di sostituire i valori di $A,E$).[/quote]
Perfetto
Tutto chiaro 
Grazie mille
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